Задача Кузнецов Дифференциальные уравнения 2-19

Условие задачи

Найти общий интеграл дифференциального уравнения.

$y'=\frac{x^2+3xy-y^2}{3x^2-2xy}$

Решение

$y'=\frac{x^2+3xy-y^2}{3x^2-2xy}$

$y'=\frac{1+3\cdot\frac{y}{x}-\frac{y^2}{x^2}}{3-2\cdot\frac{y}{x}}$ - однородное дифференциальное уравнение;

$\frac{y}{x}=z(t);\; y=xz;\; y'=z'x+z;$

$z'x+z=\frac{1+3z-z^2}{3-2z}$;

$\frac{dz}{dx}x=\frac{z^2+1}{3-2z}$;

$\frac{dx}{x}=\frac{3-2z}{z^2+1}dz$;

$\int\frac{dx}{x}=\int\frac{3}{z^2+1}dz-\int\frac{2z}{z^2+1}dz$;

$\ln\left|x\right|=3\operatorname{arctg}{z}-\ln\left|z^2+1\right|+C$;

$\ln\left|x\right|=3\operatorname{arctg}{\frac{y}{x}}-\ln\left|\frac{x^2+y^2}{x^2}\right|+C$;