Задача Кузнецов Дифференциальные уравнения 2-29

Условие задачи

Найти общий интеграл дифференциального уравнения.

$3y'=\frac{y^2}{x^2}+10\frac{y}{x}+10$ $(1)$

Решение

Выразим из уравнения $(1)$ $y'$:

$y'=\frac{1}{3}\cdot\left(\frac{y}{x}\right)^2+\frac{10}{3}\cdot\frac{y}{x}+\frac{10}{3}$

Поскольку удалось записать уравнение $(1)$ в виде $y'=\varphi\left(\frac{y}{x}\right)$, то данное уравнение — однородное дифференциальное уравнение.

Введем в рассмотрение новую неизвестную функцию $z=z(x)$, где $y=zx$. Тогда $y'=z'x+z$. Подставляя выражения $y$ и $y'$ через новую неизвестную функцию в $(1)$ получим уравнение

$3z'x+3z=z^2+10z+10$;

$3z'x=z^2+7z+10$;

$\frac{dz}{dx}\cdot 3x=z^2+7z+10$ $(2)$

$(2)$ представляет собой дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные в $(2)$. Для этого умножим обе части равенства $(2)$ на $\frac{dx}{z^2+7z+10}\cdot\frac{1}{x}$:

$\frac{3dz}{z^2+7z+10}=\frac{dx}{x}$.

Из полученного равенства дифференциалов следует равенство интегралов:

$\int\frac{3dz}{z^2+7z+10}=\int\frac{dx}{x}$ $(3)$

Проинтегрируем обе части $(3)$ по отдельности. Интеграл в правой части равенства является табличным, и равен $\ln|x|+\ln|C_1|=\ln|C_1x|$, где $C_1$ — произвольная постоянная. Интеграл в левой части равенства представляет сообой интеграл от рациональной дроби. Разложим подынтегральную дробь на сумму простейших дробей:

$\frac{3dz}{z^2+7z+10}=\frac{3dz}{(z-5)(z-2)}=\frac{A}{z-5}+\frac{B}{z-2}$ $(4)$

Домножив обе части равенства $(4)$ на общий знаменатель $(z-5)(z-2)$ получим:

$3=A(z-2)+B(z-5)$.

Подставляя $z=2$ находим $B=-1$; подставляя $z=5$ находим $A=1$. Следовательно,

$\int\frac{3dz}{z^2+7z+10}=\int\left(\frac{1}{z-5}+\frac{-1}{z-2}\right)dz=$

$=\int\frac{dz}{z-5}-\int\frac{dz}{z-2}=\int\frac{d(z-5)}{z-5}-\int\frac{d(z-2)}{z-2}=$

$=\ln|z-5|-\ln|z-2|+\ln|C_2|=\ln\left|\frac{z-5}{z-2}\cdot C_2\right|$, где $C_2$ — произвольная постоянная.

Таким образом, из $(3)$ находим

$\ln\left|\frac{z-5}{z-2}\cdot C_2\right|=\ln|C_1x|$ или

$\frac{z-5}{z-2}=Cx$, где $C=\frac{C_1}{C_2}$ $(5)$

Возвращаясь к функции $y$ согласно замене $y=zx$ в $(5)$ получаем:

$\frac{\frac{y}{x}-5}{\frac{y}{x}-2}=Cx$;

$\frac{y-5x}{y-2x}=Cx$, где $C$ — произвольная постоянная.