Задача Кузнецов Дифференциальные уравнения 2-12

Условие задачи

Найти общий интеграл дифференциального уравнения.

$x\cdot y'=\sqrt{2x^2+y^2} +y$

$x\cdot y'=\sqrt{2x^2+y^2} +y$

Преобразуем уравнение.

$\frac{dy}{dx}=\sqrt{2+\frac{y^2}{x^2}} +\frac{y}{x}$

Замена:

$u=\frac{y}{x}$

Откуда:

$y=u\cdot x$

$y'=u+x\cdot u'$

Получаем:

$u+x\cdot u'=\sqrt{2+u^2} +u$

$x\cdot \frac{du}{dx}=\sqrt{2+u^2}$

$\frac{du}{\sqrt{2+u^2}}=\frac{dx}{x}$

Интегрируем:

$\ln{\left|u+\sqrt{2+u^2}\right|}= \ln{|x|}+\ln{C}$

$\ln{\left|u+\sqrt{2+u^2}\right|}= \ln{C|x|}$

$u+\sqrt{2+u^2}= C|x|$

Обратная замена:

$\frac{y}{x}+\sqrt{2+\frac{y^2}{x^2}}= Cx$

Общее решение исходного уравнения:

$\frac{y+\sqrt{2x^2+y^2}}{x^2}= C$