Задача Кузнецов Дифференциальные уравнения 2-14

Условие задачи

Найти общий интеграл дифференциального уравнения.

$xy'=\frac{3y^3+8yx^2}{2y^2+4x^2}$

$xy'=\frac{3y^3+8yx^2}{2y^2+4x^2}$

$y'=\frac{3\cdot\frac{y^3}{x^3}+8\cdot\frac{y}{x}}{2\cdot\frac{y^2}{x^2}+4}$ - однородное дифференциальное уравнение;

$\frac{y}{x}=z(t);\; y=xz;\; y'=z'x+z;$

$z'x+z=\frac{3z^3+8z}{2z^2+4}$ ;

$\frac{dz}{dx}x=\frac{z^3+4z}{2z^2+4}$ ;

$\frac{dx}{x}=\frac{2z^2+4}{z^3+4z}dz$ ;

$\int\frac{dx}{x}=2\int\frac{1}{z^2+4}dz+4\int\frac{dz}{z(z^2+4)}$ ;

$\frac{4}{z(z^2+4)}=\frac{A}{z}+\frac{Bz+D}{z^2+4}$ ;

$Az^2+4A+Bz^2+Dz=4$ ;

$A=1,\; B=-1,\; D=0$ ;

$\frac{4}{z(z^2+4)}=\frac{1}{z}+\frac{z}{z^2+4}$ ;

$\int\frac{dx}{x}=2\int\frac{1}{z^2+4}dz+\int\frac{dz}{z}+\int\frac{z}{z^2+4}dz$ ;

$\ln\left|x\right|=\operatorname{arctg}{\frac{z}{2}}+\ln\left|z\right|+\frac{1}{2}\ln\left|z^2+4\right|+C$ ;

$\ln\left|x\right|=\operatorname{arctg}{\frac{y}{2x}}+\ln\left|\frac{y}{x}\right|+\frac{1}{2}\ln\left|\frac{y^2+4x^2}{x^2}\right|+C$ ;