Задача Кузнецов Дифференциальные уравнения 2-16

Условие задачи

Найти общий интеграл дифференциального уравнения.

$xy'=3\sqrt{x^2+y^2} +y$

$y' = 3 \sqrt {1 + (\frac{y}{x})^2} + \frac{y}{x}$

$y = u(x)\cdot x$

$y' = u'x+u$

$u'x + u = 3 \sqrt{1+u^2} + u$

$u'x = 3 \sqrt{1+u^2}$

$x \frac {du}{dx} = 3 \sqrt {1 + u^2}$

$\frac {du}{\sqrt{1+u^2}} = \frac {3dx}{x}$

$\int \frac {1} {\sqrt {1 + u^2}} du = 3 \int \frac {1}{x} dx$

$\ln(u+\sqrt{1+u^2}) = 3\ln{|x|} + \ln{|c|} = \ln{|cx^3|}$

$u + \sqrt{1+u^2} = cx^3;$

$\frac {y}{x} + \sqrt {\frac {y^2}{x^2}+1} = cx^3;$

$\frac {y}{x} + \sqrt {\frac {y^2}{x^2}+\frac{x^2}{x^2}} = cx^3;$

$\frac {y + \sqrt {y^2+x^2}}{x} = cx^3;$

$y+\sqrt{x^2+y^2}=cx^4$