Задача Кузнецов Дифференциальные уравнения 2-18

Материал из PlusPi

Перейти к: навигация, поиск

Условие задачи

Найти общий интеграл дифференциального уравнения.

$xy'=\frac{3y^3+10yx^2}{2y^2+5x^2}$

Решение

Преобразуем данное уравнение, поделив обе части равенства на $x$ :

$y'=\frac{3y^{3}+10yx^{2}}{x(2y^{2}+5x^{2})}$ $(1)$

Вынесем из знаменателя дроби в правой части равенства $x^{2}$ , а из числителя — $x^{3}$ :

$y'=\frac{x^{3}\left(3\frac{y^{3}}{x^{3}}+10\frac{y}{x}\right)}{x\cdot x^{2}(2\frac{y^{2}}{x^{2}}+5)}$

Как видим, числитель и знаменатель можно сократить на $x^{3}$ . В итоге, можем переписать уравнение в следующем виде:

$y'=\frac{3\left(\frac{y}{x}\right)^{3}+10\frac{y}{x}}{2\left(\frac{y}{x}\right)^{2}+5}$ $(2)$

Поскольку удалось записать уравнение $(1)$ в виде $y'=\varphi\left(\frac{y}{x}\right)$ , то данное уравнение — однородное дифференциальное уравнение.

Введем в рассмотрение новую неизменную функцию $z=z(x)$ , где $y=zx$ . Тогда $y'=z'x+z$ . Подставляя выражения $y$ и $y'$ через новую неизвестную функцию в $(2)$ получим уравнение

$z'x+z=\frac{3z^{3}+10z}{2z^{2}+5}$

Из последнего уравнения выразим $z'$

$z'x=\frac{3z^{3}+10z}{2z^{2}+5}-z$ ;

$z'x=\frac{3z^{3}+10z}{2z^{2}+5}-\frac{2z^{3}+5z}{2z^{2}+5}$ ;

$z'x=\frac{3z^{3}+10z-2z^{3}-5z}{2z^{2}+5}$ ;

$z'x=\frac{z^{3}+5z}{2z^{2}+5}$ ;

$z'=\frac{z(z^{2}+5)}{2z^{2}+5}\cdot\frac{1}{x}$ .

Как видим, в результате получили уравнение, с разделяющимися переменными. Разделим переменные:

$\frac{dz}{dx}=\frac{z(z^{2}+5)}{2z^{2}+5}\cdot\frac{1}{x}$ $(3)$

Домножим обе части равенства $(3)$ на $dx\cdot\frac{2z^{2}+5}{z(z^{2}+5)}$ . В результате получим:

$\frac{2z^{2}+5}{z(z^{2}+5)}dz=\frac{dx}{x}$ $(4)$

Проинтегрируем обе части равенства $(4)$ :

$\int\frac{2z^{2}+5}{z(z^{2}+5)}dz=\int\frac{dx}{x}$ $(5)$

Найдем отдельно каждый из интегралов. Интеграл в правой части равенства является табличным, и равен $\ln(x)$ . Интеграл в правой части равенства представляет собой интеграл от рациональной дроби. Разложим подынтегральную функцию на сумму простейших дробей:

$\frac{2z^{2}+5}{z(z^{2}+5)}=\frac{A}{z}+\frac{Bz+C}{z^{2}+5}$ $(5)$

Приведем к общему знаменателю дроби в равенстве $(5)$ :

$\frac{2z^{2}+5}{z(z^{2}+5)}=\frac{A(z^{2}+5)+(Bz+C) z}{z(z^{2}+5)}$ $(6)$

$(6)$ представляет собой равенство двух дробей с одинаковым знаменателем. Следовательно, числители дробей в $(6)$ также равны. Получаем равенство многочленов

$2z^{2}+5=Az^{2}+5A+Bz^{2}+Cz$ $(7)$

Из курса алгебры известно, что два многочлена равны тогда и только тогда, когда равны коэффициенты при одинаковых степенях $z$ . Получаем систему линейных алгебраических уравнений для нахождения $A$ , $B$ , $C$ :

$\left\{\begin{array}{c} A+B = 2\\ C = 0\\ 5A = 5 \end{array}\right.$

Решением системы являются $A=1$ , $B=1$ , $C=0$ . Таким образом,

$\int\frac{2z^{2}+5}{z(z^{2}+5)}dz=\int \frac{1}{z}+\frac{z}{z^{2}+5}dz$ .

Пользуясь свойствами интегрирования, находим

$\int \frac{1}{z}+\frac{z}{z^{2}+5}dz = \int \frac{1}{z}dz+\int\frac{z}{z^{2}+5}dz=\ln|z|+\frac{1}{2}\int\frac{d(z^{2}+5)}{z^{2}+5}=\ln|z|+\frac{1}{2}\ln|z^{2}+5|+C$ ,

где $C$ — произвольная постоянная. Таким образом, из $(5)$ вытекает равенство

$\ln|z|+\frac{1}{2}\ln|z^{2}+5|+C=\ln|x|$ .

Учитывая равенство $y=zx$ , получаем

$\ln\left|\frac{y}{x}\right|+\frac{1}{2}\ln\left|\left(\frac{y}{x}\right)^{2}+5\right|+C=\ln|x|$ .

В принципе, полученное равенство является общим решением уравнения $(1)$ , однако его можно упростить, если использовать свойства логарифма. Представим произвольную постоянную в виде $2C=\ln|D|$ . Имеем: