Задача Кузнецов Дифференциальные уравнения 2-21

Условие задачи

Найти общий интеграл дифференциального уравнения.

$y'=\frac{y^2}{x^2}+8\frac{y}{x}+12$

Имеем однородное уравнение, сделаем замену

$y=tx$

$y'=t'x+x$

$t'x+t=t^2+8t+12$

$t'x=t^2+7t+12$

$x\frac{dt}{dx}=t^2+7t+12$

Проверкой убеждаемся что $t=-3$ и $t=-4$ не являются решениями уравнения. Разделяем переменные

$\frac{dt}{t^2+7t+12}=\frac{dx}{x}$

$\int{\frac{dt}{t^2+7t+12}}=\int{\frac{dt}{t+3}}-\int{\frac{dt}{t+4}}$

$\ln\left|{\frac{t+3}{t+4}}\right|=\ln|x|+\ln C$

$\frac{t+3}{t+4}=Cx$

$\frac{\frac{y}{x}+3}{\frac{y}{x}+4}=Cx$

$\frac{y+3x}{y+4x}=Cx$

$y=\frac{x(3-4cx)}{cx-1}$