Задача Кузнецов Дифференциальные уравнения 2-25

Материал из PlusPi

Перейти к: навигация, поиск

Условие задачи

Найти общий интеграл дифференциального уравнения.

$4y'=\frac{y^2}{x^2}+10\frac{y}{x}+5$

Решение

$4y'=\frac{y^2}{x^2}+10\cdot\frac{y}{x}+5$

$y'=\frac{1}{4}\cdot\left(\frac{y}{x}\right)^2+\frac{10}{4}\cdot\frac{y}{x}+\frac{5}{4}$

Поскольку удалось записать уравнение в виде $y'=\varphi\left(\frac{y}{x}\right)$ , то данное уравнение — однородное дифференциальное уравнение
Cделаем следующую замену

$y=tx$

$y'=t'x+t$

Получим

$4\cdot(t'x+t)=t^2+10t+5$

$4t'x=t^2+6t+5$

$\frac{dt}{dx}\cdot 4x =t^2+6t+5$

Проверкой убеждаемся что $t=-1$ и $t=-5$ не являются решениями уравнения.
Разделяем переменные:

$\frac{4\;dt}{t^2+6t+5}=\frac{dx}{x}$

Так как:

$\frac{4\;dt}{t^2+6t+5}=\frac{dt}{t+5}-\frac{dt}{t+1}$

Проинтегрируем обе части:

$\int{\frac{dt}{t+5}}-\int{\frac{dt}{t+1}} = \int{\frac{dx}{x}}$

Тогда получаем:

$\ln\left|{\frac{t+5}{t+1}}\right|=\ln|x|+\ln C$

$\frac{t+5}{t+1}=Cx$

Возвращаясь к функции $y$ согласно замене $y=tx$ получаем:

$\frac{\frac{y}{x}+5}{\frac{y}{x}+1}=Cx$

$\frac{y+5x}{y+x}=Cx$

$y=\frac{x(Cx-5)}{1-Cx}$

Источник — «http://pluspi.org/wiki/index.php/%D0%97%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B0_%D0%9A%D1%83%D0%B7%D0%BD%D0%B5%D1%86%D0%BE%D0%B2_%D0%94%D0%B8%D1%84%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D0%B8%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F_2-25»

Категории: Задачник Кузнецова Дифференциальные уравнения Задача 2 | Дифференциальные уравнения | Задачи для проверки

Просмотры

Личные инструменты

Представиться / зарегистрироваться

Поиск

(uni)quation

Инструменты

Украинская Баннерная Сеть

Created by GeeTeatoo