Задача Кузнецов Дифференциальные уравнения 2-26

Материал из PlusPi

Перейти к: навигация, поиск

Условие задачи

Найти общий интеграл дифференциального уравнения.

xy'=\frac{3y^3+14yx^2}{2y^2+7x^2}

Решение

Имеем однородное уравнение. Вводим замену

y=tx
y'=t'x+t
x(t'x+t)=\frac{3t^3x^3+14tx^3}{2t^2x^2+7x^2}
t'x=\frac{3t^3+14t}{2t^2+7}-t
t'x=\frac{t^3+7t}{2t^2+7}

Убедившись что :x=0 не является решением уравнения разделяем переменные

\frac{2t^2+7}{t(t^2+7)}\;dt=\frac{dx}{x}
\int{\frac{2t^2+7}{t(t^2+7)}dt} =

Для нахождения интеграла разложим подынтегральное выражение на простые дроби методом неопределенных коэффициентов

\frac{2t^2+7}{t(t^2+7)}=\frac{a}{t}+\frac{bt+c}{t^2+7}
a(t^2+7)+(bt+c)t=2t^2+7
at^2+7a+bt^2+ ct=2t^2+7
(a+b)t^2+ct+7a=7

Откуда

a=b=1
c=0

Таким образом

\frac{2t^2+7}{t(t^2+7)}=\frac{1}{t}+\frac{t}{t^2+7}
=\int{\left({\frac{1}{t}+\frac{t}{t^2+7}}\right)dt} = \ln t +\frac{1}{2}\int{\frac{d(t^2+7)}{t^2+7}} = \ln t +\frac{1}{2}\ln (t^2+7)=\ln Cx
\ln t+ \ln \sqrt{t^2+7}= \ln Cx
t\sqrt{t^2+7}=Cx
\frac{y}{x}\sqrt{\frac{y^2}{x^2}+7}=Cx
y\sqrt{y^2+7x^2}=Cx^3
Источник — «http://pluspi.org/wiki/index.php/%D0%97%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B0_%D0%9A%D1%83%D0%B7%D0%BD%D0%B5%D1%86%D0%BE%D0%B2_%D0%94%D0%B8%D1%84%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D0%B8%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F_2-26»
реклама
наши спонсоры

Украинская Баннерная Сеть