Задача Кузнецов Дифференциальные уравнения 2-28

Условие задачи

Найти общий интеграл дифференциального уравнения.

$xy'=4\sqrt {x^2+y^2} +y$

Решение

$xy'=4\sqrt{x^2+y^2} + y$ $\ (1)$

$y'=\frac{4\sqrt{x^2+y^2}}{x} +\frac{y}{x}$.

$y'=4\sqrt{\frac{x^2+y^2}{x^2}} +\frac{y}{x}$;

$y'=4\sqrt{1+\frac{y^2}{x^2}} +\frac{y}{x}$;

$y'=4\sqrt{1+\left(\frac{y}{x}\right)^2} +\frac{y}{x}\$ $\ (2)$

Поскольку удалось записать уравнение $(1)$ в виде $y'=\varphi\left(\frac{y}{x}\right)$, то данное уравнение — однородное дифференциальное уравнение.

Введем в рассмотрение новую неизвестную функцию $z=z(x)$, где $y=zx$. Тогда $y'=z'x+z$. Подставляя выражения $y$ и $y'$ через новую неизвестную функцию в $(2)$ получим уравнение

$z'x + z = 4\sqrt{1+z^2} + z$;

$z'x = 4 \sqrt{1+z^2}$

$z' = \frac{4 \sqrt{1+z^2}}{x}$

$\frac{dz}{dx}= \frac{4\sqrt{1+z^2}}{x}$

$\frac{dz}{\sqrt{1+z^2}}=\frac{4\;dx}{x}$

Проинтегрируем обе части равенства:

$\int\frac{dz}{\sqrt{1+z^2}}=\int\frac{4\;dx}{x}$

Интегралы в последнем равенстве могут быть легко вычислены (хотя вычисления и займут довольно таки много времени). Например, интеграл в левой части равенства вычисляется заменой переменной $z$ на косинус гиперболический, а интеграл в правой части равенства является табличным. В результате получим:

$\ln\left|z+\sqrt{1+z^2}\right|=4\ln|x|+\ln|C|$, где $C$ — произвольная постоянная.

$\ln\left|z+\sqrt{1+z^2}\right|=\ln|Cx^4|$;

$z+\sqrt{1+z^2}=Cx^4$.

Вспоминая, что $z=\frac{y}{x}$ приходим к ответу:

$\frac{y}{x}+\sqrt{1+\left(\frac{y}{x}\right)^2}=Cx^4$

или, если домножить на $x$ обе части равенства:

$y+\sqrt{x^2+y^2}=Cx^5$