Задача Кузнецов Дифференциальные уравнения 2-3

Условие задачи

Найти общий интеграл дифференциального уравнения.

$y'=\frac{x+y}{x-y}$

Решение

$y'=\frac{1+\frac{y}{x}}{1-\frac{y}{x}}$ - однородное дифференциальное уравнение;

$\frac{y}{x}=z(t);\; y=xz;\; y'=z'x+z;$

$z'x+z=\frac{1+z}{1-z}$;

$\frac{dz}{dx}x=\frac{z^2+1}{1-z}$;

$\frac{dx}{x}=\frac{1-z}{z^2+1}dz$;

$\int\frac{dx}{x}=\int\frac{1}{z^2+1}dz-\int\frac{z}{z^2+1}dz$;

$\ln\left|x\right|=\operatorname{arctg}{z}-\frac{1}{2}\ln\left|z^2+1\right|+C$;

$\ln\left|x\right|=\operatorname{arctg}{\frac{y}{x}}-\frac{1}{2}\ln\left|x^2+y^2\right|+C$;