Задача Кузнецов Дифференциальные уравнения 2-30

Материал из PlusPi

Перейти к: навигация, поиск

Условие задачи

Найти общий интеграл дифференциального уравнения.

$xy'=4\sqrt{2x^2+y^2}+y$

Решение

Поделим обе части равенства на $x$ :

$y'=\frac{4\sqrt{2x^2+y^2} +y}{x}$ ;

$y'=\frac{4\sqrt{2x^2+y^2}}{x} +\frac{y}{x}$ .

В последнем равенстве внесем $x$ под корень:

$y'=4\sqrt{\frac{2x^2+y^2}{x^2}} +\frac{y}{x}$ ;

$y'=4\sqrt{2+\frac{y^2}{x^2}} +\frac{y}{x}$ ;

$y'=4\sqrt{2+\left(\frac{y}{x}\right)^2} +\frac{y}{x}\$ $\ (2)$

Поскольку удалось записать уравнение $(1)$ в виде $y'=\varphi\left(\frac{y}{x}\right)$ , то данное уравнение — однородное дифференциальное уравнение.

Введем в рассмотрение новую неизвестную функцию $z=z(x)$ , где $y=zx$ . Тогда $y'=z'x+z$ . Подставляя выражения $y$ и $y'$ через новую неизвестную функцию в $(2)$ получим уравнение

$z'x+z=4\sqrt{2+z^2} +z$ ;

$z'x=4\sqrt{2+z^2}$

Из последнего уравнения выразим $z'$ :

$z'=4\sqrt{2+z^2}\cdot\frac{1}{x}$

$\frac{dz}{dx}=4\sqrt{2+z^2}\cdot\frac{1}{x}$ $(3)$

Как видим, $(3)$ представляет собой уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные в $(3)$ . Для этого умножим обе части равенства $(3)$ на $dx\cdot\frac{1}{\sqrt{2+z^2}}$ :

$\frac{dz}{\sqrt{2+z^2}}=\frac{4}{x}dx$ $(4)$

Проинтегрируем обе части равенства $(4)$ :

$\int\frac{dz}{\sqrt{2+z^2}}=\int\frac{4}{x}dx$

Интегралы в последнем равенстве могут быть легко вычислены (хотя вычисления и займут довольно таки много времени). Например, интеграл в левой части равенства вычисляется заменой переменной $z$ на косинус гиперболический, а интеграл в правой части равенства является табличным. В результате получим: