Задача Кузнецов Дифференциальные уравнения 2-31

Условие задачи

Найти общий интеграл дифференциального уравнения.

$y'=\frac{x^2+2xy-5y^2}{2x^2-6xy}$

Решение

$y'=\frac{1+2\cdot\frac{y}{x}-5\cdot\frac{y^2}{x^2}}{2-6\cdot\frac{y}{x}}$ - однородное дифференциальное уравнение;

Произведем подстановку:

$\frac{y}{x}=z(t);\; y=xz;\; y'=z'x+z;$

Получим:

$z'x+z=\frac{1+2z-5z^2}{2-6z}$;

$z'x=\frac{1+2z-5z^2}{2-6z}-z\cdot\frac{2-6z}{2-6z}$;

$z'x=\frac{(1+2z-5z^2)-(2z-6z^2)}{2-6z}$;

$\frac{dz}{dx}x=\frac{1+z^2}{2-6z}$;

$\frac{dx}{x}=\frac{2-6z}{z^2+1}\;dz$;

Проинтегрируем обе части:

$\int\frac{dx}{x}=2\int\frac{1}{z^2+1}dz-3\int\frac{2z}{z^2+1}dz$;

$\ln\left|x\right|=2\cdot\operatorname{arctg}{z}-3\ln\left|z^2+1\right|+C$;

$\ln\left|x\right|=2\cdot\operatorname{arctg}{\frac{y}{x}}-3\ln\left|\frac{x^2+y^2}{x^2}\right|+C$;