Задача Кузнецов Интегралы 1-1

Условие задачи

Вычислить неопределенный интеграл:

$\int {(4-3x)e^{-3x}dx}$

Решение

$\int {(4-3x)e^{-3x}dx} =$

Обозначим:

$u = 4-3x;\ du = -3 dx$

$dv = e^{-3x}dx;\ v = -\frac{1}{3}e^{-3x}$

Воспользуемся формулой интегрирования по частям $\int u\,dv=u\,v-\int v\,du$. Получаем:

$= (4-3x)\cdot \left(-\frac{1}{3}e^{-3x}\right) - \int \left(-\frac{1}{3}e^{-3x}\right)\cdot (-3)dx =$

$= -\frac{1}{3}(4-3x)e^{-3x} - \int e^{-3x}dx = -\frac{1}{3}(4-3x)e^{-3x} - \left(-\frac{1}{3}e^{-3x}\right) + C =$

$= -\frac{1}{3}(3-3x)e^{-3x} + C = (x-1)e^{-3x} + C$