Задача Кузнецов Интегралы 1-19

Условие задачи

Вычислить неопределенный интеграл:

$\int \left(x\sqrt{2} -3\right)\cos{2x} dx$

Решение

$\int \left(x\sqrt{2} -3\right)\cos{2x} dx =$

Обозначим:

$u = x\sqrt{2} -3;\ du = \sqrt{2}dx$

$dv = \cos{2x}dx;\ v = \frac{1}{2}\sin{2x}$

Воспользуемся формулой интегрирования по частям $\int u\,dv=u\,v-\int v\,du$. Получаем:

$= \left(x\sqrt{2} -3\right)\cdot \frac{1}{2}\sin{2x} - \int \frac{1}{2}\sin{2x}\cdot \sqrt{2}dx = \frac{1}{2}\cdot \left(x\sqrt{2} -3\right)\sin{2x} - \frac{\sqrt{2}}{2}\int \sin{2x}dx =$

$= \frac{1}{2}\cdot \left(x\sqrt{2} -3\right)\sin{2x} + \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \cos{2x} + C = \frac{1}{2}\cdot \left(x\sqrt{2} -3\right)\sin{2x} + \frac{\sqrt{2}}{4}\cdot \cos{2x} + C$