Задача Кузнецов Интегралы 1-2

Условие задачи

Вычислить неопределенный интеграл:

$\int \operatorname{arctg}{\sqrt{4x-1}}dx$

Решение

$\int \operatorname{arctg}{\sqrt{4x-1}}dx =$

Обозначим:

$u = \operatorname{arctg}{\sqrt{4x-1}};\ du = \frac{1}{1+\left(\sqrt{4x-1}\right)^2}\cdot \frac{1}{2\sqrt{4x-1}}\cdot 4dx=$

$= \frac{1}{4x}\cdot \frac{2}{\sqrt{4x-1}}\cdot dx= \frac{dx}{2x\sqrt{4x-1}}$

$dv = dx;\ v = x$

Воспользуемся формулой интегрирования по частям $\int u\,dv=u\,v-\int v\,du$. Получаем:

$= \operatorname{arctg}{\sqrt{4x-1}} \cdot x - \int \frac{x\cdot dx}{2x\sqrt{4x-1}} = x\cdot \operatorname{arctg}{\sqrt{4x-1}} - \int \frac{dx}{2\sqrt{4x-1}} =$

$= x\cdot \operatorname{arctg}{\sqrt{4x-1}} - \frac{1}{4}\cdot \sqrt{4x-1} + C$