Задача Кузнецов Интегралы 1-29

Условие задачи

Вычислить неопределенный интеграл:

$\int \frac{x}{\sin^{2}{x}}dx$

Решение

$\int \frac{x}{\sin^{2}{x}}dx =$

Обозначим:

$u = x;\ du = dx$

$dv = \frac{1}{\sin^{2}{x}}dx;\ v = -\operatorname{ctg}{x}$

Воспользуемся формулой интегрирования по частям $\int u\,dv=u\,v-\int v\,du$. Получаем:

$= x\cdot \left(-\operatorname{ctg}{x}\right) - \int \left(-\operatorname{ctg}{x}\right)dx = -x\cdot \operatorname{ctg}{x} + \int \frac{\cos{x}}{\sin{x}}dx =$

$= -x\cdot \operatorname{ctg}{x} + \int \frac{d\left(\sin{x}\right)}{\sin{x}} = -x\cdot \operatorname{ctg}{x} + \ln{\left|\sin{x}\right|} + C$