Задача Кузнецов Интегралы 1-3

Условие задачи

Вычислить неопределенный интеграл:

$\int (3x+4)e^{3x}dx$

Решение

$\int (3x+4)e^{3x}dx =$

Обозначим:

$u = 3x+4;\ du = 3dx$

$dv = e^{3x}dx;\ v = \frac{1}{3}e^{3x}$

Воспользуемся формулой интегрирования по частям $\int u\,dv=u\,v-\int v\,du$. Получаем:

$= (3x+4)\cdot \frac{1}{3}e^{3x} - \int \frac{1}{3}e^{3x}\cdot 3dx = \frac{1}{3}\cdot (3x+4)e^{3x} - \int e^{3x}dx =$

$= \frac{1}{3}\cdot (3x+4)e^{3x} - \frac{1}{3}e^{3x} + C = \frac{1}{3}\cdot (3x+3)e^{3x} + C= (x+1)e^{3x} + C$