Задача Кузнецов Интегралы 1-31

Условие задачи

Вычислить неопределенный интеграл:

$\int \frac{x\cdot \cos{x}}{\sin^{3}{x}}dx$

Решение

$\int \frac{x\cdot \cos{x}}{\sin^{3}{x}}dx =$

Обозначим:

$u = \frac{x\cdot \cos{x}}{\sin{x}} = x\cdot \operatorname{ctg}{x};\ du = \left(\operatorname{ctg}{x} - \frac{x}{\sin^{2}{x}}\right)dx$

$dv = \frac{1}{\sin^{2}{x}}dx;\ v = -\operatorname{ctg}{x}$

Воспользуемся формулой интегрирования по частям $\int u\,dv=u\,v-\int v\,du$. Получаем:

$= -\operatorname{ctg}{x}\cdot x\cdot \operatorname{ctg}{x} - \int \left(-\operatorname{ctg}{x}\right)\cdot \left(\operatorname{ctg}{x} - \frac{x}{\sin^{2}{x}}\right)dx =$

$= -\operatorname{ctg}^{2}{x}\cdot x + \int \operatorname{ctg}^{2}{x}\cdot dx - \int \frac{x\cdot \operatorname{ctg}{x}}{\sin^{2}{x}}dx =$

$= -\operatorname{ctg}^{2}{x}\cdot x + \int \frac{\cos^{2}{x}}{\sin^{2}{x}} dx - \int \frac{x\cdot \cos{x}}{\sin^{3}{x}}dx =$

$= -\operatorname{ctg}^{2}{x}\cdot x + \int \frac{1-\sin^{2}{x}}{\sin^{2}{x}} dx - \int \frac{x\cdot \cos{x}}{\sin^{3}{x}}dx =$

$= -\operatorname{ctg}^{2}{x}\cdot x + \int \frac{1}{\sin^{2}{x}} dx - \int dx - \int \frac{x\cdot \cos{x}}{\sin^{3}{x}}dx =$

$= -\operatorname{ctg}^{2}{x}\cdot x - \operatorname{ctg}{x} - x +C_1 - \int \frac{x\cdot \cos{x}}{\sin^{3}{x}}dx$

Т.е. получаем:

$\int \frac{x\cdot \cos{x}}{\sin^{3}{x}}dx = -\operatorname{ctg}^{2}{x}\cdot x - \operatorname{ctg}{x} - x +C_1 - \int \frac{x\cdot \cos{x}}{\sin^{3}{x}}dx$

$2\cdot \int \frac{x\cdot \cos{x}}{\sin^{3}{x}}dx = -\operatorname{ctg}^{2}{x}\cdot x - \operatorname{ctg}{x} - x +C_1$

$2\cdot \int \frac{x\cdot \cos{x}}{\sin^{3}{x}}dx = -x\cdot \left(\operatorname{ctg}^{2}{x}+1\right) - \operatorname{ctg}{x} +C_1$

$2\cdot \int \frac{x\cdot \cos{x}}{\sin^{3}{x}}dx = -x\cdot \frac{1}{\sin^{2}{x}} - \frac{\cos{x}}{\sin{x}} +C_1$

$2\cdot \int \frac{x\cdot \cos{x}}{\sin^{3}{x}}dx = -\frac{x+\cos{x}\cdot \sin{x}}{\sin^{2}{x}} +C_1$

$\int \frac{x\cdot \cos{x}}{\sin^{3}{x}}dx = -\frac{x+\cos{x}\cdot \sin{x}}{2\sin^{2}{x}} +\frac{C_1}{2}$

Без потери общности считаем $C = \frac{C_1}{2}$:

$\int \frac{x\cdot \cos{x}}{\sin^{3}{x}}dx = -\frac{x+\cos{x}\cdot \sin{x}}{2\sin^{2}{x}} + C$