Задача Кузнецов Интегралы 1-9

Условие задачи

Вычислить неопределенный интеграл:

$\int \ln{\left(4x^2+1\right)}dx$

Решение

$\int \ln{\left(4x^2+1\right)}dx =$

Обозначим:

$u = \ln{\left(4x^2+1\right)};\ du = \frac{1}{4x^2+1}\cdot 8x\cdot dx = \frac{8xdx}{4x^2+1}$

$dv = dx;\ v = x$

Воспользуемся формулой интегрирования по частям $\int u\,dv=u\,v-\int v\,du$. Получаем:

$= \ln{\left(4x^2+1\right)}\cdot x - \int \frac{8x^2}{4x^2+1} dx = x\cdot \ln{\left(4x^2+1\right)} - 2\int \frac{4x^2 +1 -1}{4x^2+1} dx =$

$= x\cdot \ln{\left(4x^2+1\right)} - 2\int dx + \frac{1}{2}\int \frac{1}{x^2+\frac{1}{4}} dx = x\cdot \ln{\left(4x^2+1\right)} - 2x + \frac{1}{2}\cdot 2\cdot \operatorname{arctg}{2x} + C =$

$= x\cdot \ln{\left(4x^2+1\right)} - 2x + \operatorname{arctg}{2x} + C$