Задача Кузнецов Интегралы 10-1

Условие задачи

Вычислить определенный интеграл:

$\int\limits_{\pi / 2}^\pi 2^8\cdot \sin^{8}{x} dx$

Решение

$\int\limits_{\pi / 2}^{\pi} 2^8\sin^{8}{x} dx = \int\limits_{\pi / 2}^{\pi} 2^{8}(\sin^{2}{x})^{4}dx = \int\limits_{\pi / 2}^{\pi} 2^{8}\left(\frac{1 - \cos{2x}}{2}\right)^{4}dx = 2^{4}\int\limits_{\pi / 2}^{\pi}(1-\cos{2x})^{4}dx =$

$= 2^{4}\int\limits_{\pi / 2}^{\pi}(1 - 4\cos{2x} + 6\cos^{2}{2x} - 4\cos^{3}{2x} + \cos^{4}{2x})dx =$

$= 2^{4}\int\limits_{\pi / 2}^{\pi}\left(1 - 4\cos{2x} + 6\frac{1 + \cos{4x}}{2} - 4\cos^{3}{2x} + \cos^{4}{2x}\right)dx =$

$= 2^{4}\int\limits_{\pi / 2}^{\pi}(4 - 4\cos{2x} + 3\cos{4x} - 4\cos^{3}{2x} + \cos^{4}{2x})dx =$

$= \left. 2^{4}\left(4x - 2\sin{2x} + \frac{3\sin{4x}}{4}\right)\right|_{\pi/2}^{\pi} - 2^{5}\int\limits_{\pi / 2}^{\pi}(1 - \sin^{2}{2x})d(\sin{2x}) + 2^{4}\int\limits_{\pi / 2}^{\pi}\cos^{4}{2x}dx =$

$= 32\pi - \left. 2^{5}\left(\sin{2x} - \frac{\sin^{3}{2x}}{3}\right)\right|_{\pi / 2}^{\pi} + 2^{4}\int\limits_{\pi / 2}^{\pi}\left(\frac{1 + \cos{4x}}{2}\right)^{2}dx =$

$= 32\pi + 4\int\limits_{\pi / 2}^{\pi}(1 + 2\cos{4x} + \cos^{2}{4x})dx = 32\pi + 4\int\limits_{\pi / 2}^{\pi}(1 + 2\cos{4x} + \frac{1 + \cos{8x}}{2})dx =$

$= 32\pi + \int\limits_{\pi / 2}^{\pi}(6 + 8\cos{4x} + 2\cos{8x})dx = 32\pi + \left(6x + 2\sin{4x} + \left. \frac{\sin{8x}}{4}\right)\right|_{\pi/2}^{\pi} = 32\pi + 3\pi = 35\pi$