Задача Кузнецов Интегралы 10-19

Условие задачи

Вычислить определенный интеграл:

$\int\limits_{\pi / 2}^\pi 2^8\cdot \sin^{2}{x}\cos^{6}{x} dx$

Решение

$\int\limits_{\pi/2}^{\pi}2^{8}\sin^{2}{x}\cos^{6}{x}dx = 2^{8}\int\limits_{\pi/2}^{\pi}\frac{1 - \cos{2x}}{2}\cdot\frac{(1 + \cos{2x})^{3}}{8}dx =$

$= 2^{4}\int\limits_{\pi/2}^{\pi}(1 - \cos{2x})(1 + \cos{2x})(1 + 2\cos{2x}+\cos^{2}{2x})dx =$

$= 2^{4}\int\limits_{\pi/2}^{\pi}(1 - \cos^{2}{2x})(1 + 2\cos{2x} + \cos^{2}{2x})dx =$

$= 2^{4}\int\limits_{\pi/2}^{\pi}(1 + 2\cos{2x} + \cos^{2}{2x} - \cos^{2}{2x} - 2\cos^{3}{2x} - \cos^{4}{2x})dx =$

$= 2^{4}\left[\frac{\pi}{2} + \sin{2x}|_{\pi/2}^{\pi} - 2\int\limits_{\pi/2}^{\pi}\cos^{2}{2x}d(\sin{2x}) - \frac{1}{4}\int\limits_{\pi/2}^{\pi}(1 + \cos{4x})^{2}dx\right] =$

$= 2^{4}\left[\frac{\pi}{2} - \frac{1}{4}\int\limits_{\pi/2}^{\pi}(1 + 2\cos{4x} + \cos^{2}4x)dx\right] = 2^{4}\left[\frac{\pi}{2} - \frac{1}{4}\cdot\frac{\pi}{2} - \frac{1}{8}\int\limits_{\pi/2}^{\pi}(1 + \cos{8x})dx\right] =$

$= 2^{4}\left[\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{8} - \frac{1}{8}\cdot\frac{\pi}{2}\right] = 2^{4}\left[\frac{8\pi - 2\pi - \pi}{16}\right] = 5\pi$