Задача Кузнецов Интегралы 10-2

Условие задачи

Вычислить определенный интеграл:

$\int\limits_0^\pi 2^4\cdot \sin^{6}{x}\cos^{2}{x} dx$

Решение

$\int\limits_0^\pi 2^4\cdot \sin^{6}{x}\cos^{2}{x} dx = \left| \sin{x}\cos{x}=\frac{1}{2}\sin{2x},\; \sin^{2}{x}=\frac{1}{2}(1-\cos{2x})\right| =$

$= \int\limits_0^\pi 2^4\cdot \frac{1}{2^2}\sin^{2}{2x}\cdot \frac{1}{2^2}(1-\cos{2x})^2 dx = \int\limits_0^\pi \sin^{2}{2x}\left(1-2\cos{2x}+\cos^{2}{2x}\right) dx =$

$= \int\limits_0^\pi \sin^{2}{2x}\; dx - 2 \int\limits_0^\pi \sin^{2}{2x}\cos{2x}\; dx + \int\limits_0^\pi \sin^{2}{2x}\cos^{2}{2x}\; dx =$

$= \left| \sin^{2}{2x}=\frac{1}{2}(1-\cos{4x}),\; \sin{2x}\cos{2x}=\frac{1}{2}\sin{4x},\; \frac{1}{2}d(\sin{2x}) = \cos{2x}\;dx \right|=$

$= \int\limits_0^\pi \frac{1}{2}(1-\cos{4x})\; dx - 2 \int\limits_0^\pi \sin^{2}{2x}\cdot \frac{1}{2}d(\sin{2x}) + \int\limits_0^\pi \frac{1}{2^2}\sin^{2}{4x}\; dx =$

$= \left| \sin^{2}{4x}=\frac{1}{2}(1-\cos{8x})\right|=$

$= \left. \frac{1}{2}(x-\frac{1}{4}\sin{4x})\right|_0^\pi - \left. \frac{1}{3}\sin^{3}{2x}\right|_0^\pi + \int\limits_0^\pi \frac{1}{2^2}\cdot \frac{1}{2}(1-\cos{8x})dx =$

$= \frac{1}{2}(\pi-\frac{1}{4}\sin{4\pi}) - \frac{1}{2}(0-\frac{1}{4}\sin{(4\cdot 0)}) - \frac{1}{3}\sin^{3}{2\pi} + \frac{1}{3}\sin^{3}{(2\cdot 0)} +\left. \frac{1}{2^3}\cdot (x-\frac{1}{8}\sin{8x})\right|_0^\pi =$

$= \frac{1}{2}(\pi-0) - \frac{1}{2}(0-0) - \frac{1}{3}\cdot 0 + \frac{1}{3}\cdot 0 + \frac{1}{2^3}\cdot (\pi-\frac{1}{8}\sin{8\pi})-\frac{1}{2^3}\cdot (0-\frac{1}{8}\sin{(8\cdot 0)}) =$

$= \frac{\pi}{2} + \frac{1}{2^3}\cdot (\pi-0)-\frac{1}{2^3}\cdot (0-0) = \frac{4\pi}{2^3} + \frac{\pi}{2^3} = \frac{5\pi}{8}$