Задача Кузнецов Интегралы 10-29

Условие задачи

Вычислить определенный интеграл:

$\int\limits_0^\pi 2^4\cdot \sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}\cos^{6}{\left(\frac{x}{2}\right)} dx$

Решение

$\int\limits_0^\pi 2^4\cdot \sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}\cos^{6}{\left(\frac{x}{2} \right)} dx = \left| \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}\cos{\left(\frac{x}{2} \right)}=\frac{1}{2}\sin{x},\; \cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}=\frac{1}{2}(1+\cos{x})\right| =$

$= \int\limits_0^\pi 2^4\cdot \frac{1}{2^2}\sin^{2}{x}\cdot \frac{1}{2^2}(1+\cos{x})^2 dx = \int\limits_0^\pi \sin^{2}{x}\left(1+2\cos{x}+\cos^{2}{x}\right) dx =$

$= \int\limits_0^\pi \left(\sin^{2}{x}+2\sin^{2}{x}\cos{x}+\sin^{2}{x}\cos^{2}{x}\right) dx =$

$= \left| \sin{x}\cos{x}=\frac{1}{2}\sin{2x},\; \sin^{2}{x}=\frac{1}{2}(1-\cos{2x})\right| =$

$= \int\limits_0^\pi \frac{1}{2}(1-\cos{2x})dx + 2\cdot \int\limits_0^\pi \sin^{2}{x}\cos{x}\; dx + \int\limits_0^\pi \frac{1}{2^2}\sin^{2}{2x}\; dx =$

$= \left| \sin^{2}{2x}=\frac{1}{2}(1-\cos{4x}),\; d(\sin{x}) = \cos{x}\;dx \right| =$

$= \frac{1}{2}\cdot \left. \left(x-\frac{1}{2}\sin{2x}\right) \right|_0^\pi + 2\cdot \int\limits_0^\pi \sin^{2}{x} \cdot d(\sin{x}) + \frac{1}{2^2}\cdot \int\limits_0^\pi \frac{1}{2}(1-\cos{4x})dx =$

$= \frac{1}{2}\cdot (\pi-0) - \frac{1}{2}\cdot (0-0) + \left. \frac{2}{3}\sin^{3}{x} \right|_0^\pi + \frac{1}{8}\cdot \left. \left(x-\frac{1}{4}\sin{4x}\right)\right|_0^\pi =$

$= \frac{\pi}{2} + \frac{2}{3}\cdot 0 - \frac{2}{3}\cdot 0 + \frac{1}{8}\cdot (\pi-0) - \frac{1}{8}\cdot (0-0) = \frac{4\pi+\pi}{8} = \frac{5\pi}{8}$