Задача Кузнецов Интегралы 10-3

Условие задачи

Вычислить определенный интеграл:

$\int\limits_0^{2\pi} \sin^{4}{x}\cos^{4}{x} dx$

Решение

$\int\limits_0^{2\pi} \sin^{4}{x}\cos^{4}{x} dx = \int\limits_0^{2\pi}(\sin{x}\cdot\cos{x})^{4}dx = \int\limits_0^{2\pi}\left(\frac{\sin{2x}}{2}\right)^{4}dx = \frac{1}{16}\int\limits_0^{2\pi}\sin^{4}{2x}dx =$

$= \frac{1}{16}\int\limits_0^{2\pi}\frac{1}{4}\cdot(1 - \cos{4x})^{2}dx = \frac{1}{64}\int\limits_0^{2\pi}(1 - 2\cos{4x} + \cos^{2}{4x})dx =$

$= \frac{1}{64}\int\limits_0^{2\pi}\left(1 - 2\cos{4x} + \frac{1 + \cos{8x}}{2}\right)dx = \frac{1}{128}\int\limits_0^{2\pi}(2 - 4\cos{4x} + 1 + \cos{8x})dx =$

$= \frac{1}{128}\int\limits_0^{2\pi}(3 - 4\cos{4x} + \cos{8x})dx = \frac{1}{128}\left.\left(3x - \sin{4x} + \frac{\sin{8x}}{8}\right)\right|_{0}^{2\pi} = \frac{6\pi}{128} = \frac{3\pi}{64}$