Задача Кузнецов Интегралы 10-31

Условие задачи

Вычислить определенный интеграл:

$\int\limits_0^{2\pi} \sin^{4}{3x}\cos^{4}{3x} dx$

Решение

$\int\limits_0^{2\pi} \sin^{4}{3x}\cos^{4}{3x} dx = \int\limits_0^{2\pi} \frac{1}{2^4}\cdot (2\sin{3x}\cdot\cos{3x})^{4}dx = \int\limits_0^{2\pi} \frac{1}{2^4}\cdot \sin^{4}{6x}\; dx =$

$= \frac{1}{16}\cdot \int\limits_0^{2\pi} \sin^{4}{6x}\; dx = \frac{1}{16}\cdot \int\limits_0^{2\pi} \frac{1}{4}\cdot(1 - \cos{12x})^2 dx = \frac{1}{64}\cdot \int\limits_0^{2\pi} (1 - 2\cos{12x} + \cos^{2}{12x})dx =$

$= \frac{1}{64}\cdot \int\limits_0^{2\pi} \left(1 - 2\cos{12x} + \frac{1 + \cos{24x}}{2}\right)dx = \frac{1}{2^7}\cdot \int\limits_0^{2\pi} (2 - 4\cos{12x} + 1 + \cos{24x})dx =$

$= \frac{1}{2^7}\cdot \int\limits_0^{2\pi} (3 - 4\cos{12x} + \cos{24x})dx = \left. \frac{1}{2^7}\cdot \left(3x - \frac{1}{3}\cdot \sin{12x} + \frac{\sin{24x}}{24}\right)\right|_0^{2\pi} =$

$= \frac{1}{2^7}\cdot \left(6\pi - \frac{1}{3}\cdot \sin{24\pi} + \frac{\sin{48\pi}}{24}\right) - \frac{1}{2^7}\cdot \left(0 - \frac{1}{3}\cdot 0 + \frac{0}{24}\right) = \frac{3\pi}{64}$