Задача Кузнецов Интегралы 11-19

Условие задачи

Вычислить определенный интеграл:

$\int\limits_0^2 \frac{\left(4\sqrt{2-x} - \sqrt{3x+2}\right)dx}{\left(\sqrt{3x+2} + 4\sqrt{2-x}\right)(3x+2)^2}$

Решение

Введем подстановку:

$t = \sqrt{\frac{2 - x}{3x + 2}}$

Тогда:

$x = \frac{2 - 2t^{2}}{3t^{2} + 1}, ~~ dx = -\frac{16t}{(3t^{2} + 1)^{2}}dt$

При $x = 0,~~ t = 1$

При $x = 2,~~ t = 0$

$3x + 2 = \frac{8}{3t^2 + 1}$

Получаем:

$\int\limits_0^2 \frac{\left(4\sqrt{2-x} - \sqrt{3x+2}\right)dx}{\left(\sqrt{3x+2} + 4\sqrt{2-x}\right)(3x+2)^2} = -\int\limits_{1}^{0}\frac{(4t - 1)\frac{16t}{(3t^{2} + 1)^{2}}}{(1 + 4t)\frac{64}{(3t^{2} + 1)^{2}}}dt = \frac{1}{4}\int\limits_{0}^{1}\frac{4t^{2} - t}{1 + 4t}dt =$

Под интегралом неправильная дробь. Выделим целую часть:

$\begin{array}{ll} 4t^{2} - t&|\underline{4t + 1} \\ \underline{4t^2+t}&t-\frac{1}{2} \\ \quad \; -2t& \\ \quad \; \underline{-2t-\frac{1}{2}}& \\ \qquad \qquad \; \frac{1}{2}& \\ \end{array}$

Получаем:

$= \frac{1}{4}\int\limits_{0}^{1}tdt - \frac{1}{8}\int\limits_{0}^{1}dt + \frac{1}{8}\int\limits_{0}^{1}\frac{dt}{1 + 4t} = \frac{1}{8} - \frac{1}{8} + \frac{1}{32}\ln\left|1 + 4t\right||_{0}^{1} = \frac{1}{32}\ln5$