Задача Кузнецов Интегралы 11-2

Условие задачи

Вычислить определенный интеграл:

$\int\limits_1^{64} \frac{1-\sqrt[6]{x}+2\sqrt[3]{x}}{x+2\sqrt{x^3}+\sqrt[3]{x^4}}dx$

Решение

$\int\limits_1^{64} \frac{1-\sqrt[6]{x}+2\sqrt[3]{x}}{x+2\sqrt{x^3}+\sqrt[3]{x^4}}dx =$

Замена:

$x=t^6,\; dx = 6t^5dt$

$x=1 \Rightarrow t=\sqrt[6]{1}=1$

$x=64 \Rightarrow t=\sqrt[6]{64}=2$

Получаем:

$= \int\limits_1^2 \frac{\left(1-t+2t^2\right)\cdot 6t^5dt}{t^6+2t^9+t^8} = 6\cdot \int\limits_1^2 \frac{2t^2-t+1}{2t^4+t^3+t}dt =$

Разделим знаменатель и числитель на $2t^2-t+1$:

$\begin{array}{ll} 2t^4+t^3+t&|\underline{2t^2-t+1} \\ \underline{2t^4-t^3+t^2}&t^2+t \\ \qquad 2t^3-t^2+t& \\ \qquad \underline{2t^3-t^2+t}& \\ \qquad \qquad \qquad \; 0& \\ \end{array}$

Получаем:

$= 6\cdot \int\limits_1^2 \frac{1}{t^2+t}dt = 6\cdot \int\limits_1^2 \frac{1}{t(t+1)}dt = 6\cdot \int\limits_1^2 \left(\frac{1}{t}-\frac{1}{t+1}\right)dt =$

$= 6\cdot \left.\left(\ln{|t|}-\ln{|t+1|}\right)\right|_1^2 = 6\cdot \left(\ln{|2|}-\ln{|2+1|}\right) - 6\cdot \left(\ln{|1|}-\ln{|1+1|}\right) =$

$= 6\ln{2}-6\ln{3}-6\cdot 0 + 6\ln{2} = 6\ln{\frac{4}{3}}$