Задача Кузнецов Интегралы 11-29

Условие задачи

Вычислить определенный интеграл:

$\int\limits_0^1 \frac{\left(4\sqrt{1-x} - \sqrt{x+1}\right) dx}{\left(\sqrt{x+1} + 4\sqrt{1-x}\right)(x+1)^2}$

Решение

$\int\limits_0^1 \frac{\left(4\sqrt{1-x} - \sqrt{x+1}\right) dx}{\left(\sqrt{x+1} + 4\sqrt{1-x}\right)(x+1)^2} = \int\limits_0^1 \frac{\left(4\sqrt{\frac{1-x}{x+1}} - 1\right) dx}{\left(1 + 4\sqrt{\frac{1-x}{x+1}}\right)(x+1)^2} =$

Введем подстановку:

$t = \sqrt{\frac{1 - x}{x + 1}}$

Тогда

$t^2 = \frac{1 - x}{x + 1} = -\frac{x+1-2}{x + 1} = -1 + \frac{2}{x + 1} \Rightarrow \frac{2}{t^2+1} = x + 1 \Rightarrow$

$x = \frac{1-t^2}{t^2 +1} \Rightarrow dx = \frac{(-2t)\cdot \left(t^2+1\right) - \left(1-t^2\right)\cdot 2t}{\left(t^2 + 1\right)^2}dt \Rightarrow$

$dx = \frac{-4t}{\left(t^2 + 1\right)^2}dt$

При $x = 0,\; t = \sqrt{\frac{1 - 0}{0 + 1}} = 1$

При $x = 1,\; t = \sqrt{\frac{1 - 1}{1 + 1}} = 0$

Получаем:

$= \int\limits_1^0 \frac{4t - 1}{(1 + 4t)\cdot \frac{4}{\left(t^2+1\right)^2}}\cdot \frac{-4t}{\left(t^2 + 1\right)^2}dt = \int\limits_0^1 \frac{(4t - 1)t}{1 + 4t}dt = \int\limits_0^1 \frac{4t^2 - t}{4t+1}dt =$

Под интегралом неправильная дробь. Выделим целую часть:

$\begin{array}{ll} 4t^{2} - t&|\underline{4t + 1} \\ \underline{4t^2+t}&t-\frac{1}{2} \\ \quad \; -2t& \\ \quad \; \underline{-2t-\frac{1}{2}}& \\ \qquad \qquad \; \frac{1}{2}& \\ \end{array}$

Получаем:

$= \int\limits_0^1\left(\left(t - \frac{1}{2}\right) + \frac{\frac{1}{2}}{4t + 1}\right)dt = \int\limits_0^1 \left(t - \frac{1}{2} + \frac{1}{8t + 2}\right) =$

$= \int\limits_0^1 t\; dt - \frac{1}{2}\int\limits_0^1 dt + \int\limits_0^1 \frac{1}{8t + 2}dt = \left. \frac{t^{2}}{2} \right|_0^1 - \left. \frac{1}{2}t \right|_0^1 + \frac{1}{2}\int\limits_0^1 \frac{1}{4t + 1}dt =$

$= \frac{1}{2} - \frac{1}{2} + \frac{1}{8}\int\limits_0^1 \frac{1}{4t + 1}d(4t + 1) = \left. \frac{1}{8}\ln{|4t+1|}\right|_0^1 = \frac{1}{8}\ln{5}$