Задача Кузнецов Интегралы 12-1

Условие задачи

Вычислить определенный интеграл:

$\int\limits_0^{16} \sqrt{256-x^2} dx$

Решение

$\int\limits_0^{16} \sqrt{256-x^2} dx =$

Замена:

$x = 16\sin{t} \Rightarrow dx = 16\cos{t}\; dt$

$x=0 \Rightarrow t = \arcsin{\frac{0}{16}} = 0$

$x=16 \Rightarrow t = \arcsin{\frac{16}{16}} = \frac{\pi}{2}$

Получаем:

$= \int\limits_0^{\pi / 2} \sqrt{256-256\sin^{2}{t}}\cdot 16\cos{t}\; dt = \int\limits_0^{\pi / 2} 16\cos{t}\cdot 16\cos{t}\; dt =$

$= 256\cdot \int\limits_0^{\pi / 2} \cos^{2}{t}\; dt = 256\cdot \int\limits_0^{\pi / 2} \frac{1+\cos{2t}}{2}dt = 128\cdot \int\limits_0^{\pi / 2} \left(1+\cos{2t}\right)dt =$

$= \left. 128\left(t+\frac{1}{2}\sin{2t}\right)\right|_0^{\pi / 2} = 128\left(\frac{\pi}{2}+\frac{1}{2}\sin{\pi}\right) - 128\left(0+\frac{1}{2}\sin{0}\right) =$

$= 128\left(\frac{\pi}{2}+\frac{1}{2}\cdot 0\right) - 128\left(0+\frac{1}{2}\cdot 0\right) = 64\pi$