Задача Кузнецов Интегралы 12-19

Условие задачи

Вычислить определенный интеграл:

$\int\limits_0^{2\sqrt{2}} \frac{x^4\cdot dx}{\left(16-x^2\right)\sqrt{16-x^2}}$

Решение

$\int\limits_0^{2\sqrt{2}} \frac{x^4\cdot dx}{\left(16-x^2\right)\sqrt{16-x^2}} = \int\limits_0^{2\sqrt{2}} \frac{x^4\cdot dx}{\left(16-x^2\right)^{3/2}} =$

Замена:

$x = 4\sin{t} \Rightarrow dx = 4\cos{t}\; dt$

$x=0 \Rightarrow t = \arcsin{\frac{0}{4}} = 0$

$x=2\sqrt{2} \Rightarrow t = \arcsin{\frac{2\sqrt{2}}{4}} = \arcsin{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{\pi}{4}$

Получаем:

$= \int\limits_0^{\pi / 4} \frac{4^4\sin^{4}{t}\cdot 4\cos{t}}{\sqrt{\left(16-16\sin^{2}{t}\right)^3}} dt = \int\limits_0^{\pi / 4} \frac{4^4\sin^{4}{t}\cdot 4\cos{t}}{4^3\cos^{3}{t}} dt = 16\cdot \int\limits_0^{\pi / 4} \frac{\sin^{4}{t}}{\cos^{2}{t}} dt =$

$= 16\cdot \int\limits_0^{\pi / 4} \frac{\left(1-\cos^{2}{t}\right)^2}{\cos^{2}{t}} dt = 16\cdot \int\limits_0^{\pi / 4} \frac{1-2\cos^{2}{t}+\cos^{4}{t}}{\cos^{2}{t}} dt =$

$= 16\cdot \int\limits_0^{\pi / 4} \left(\frac{1}{\cos^{2}{t}}-2+\frac{1+\cos{2t}}{2}\right) dt = 16\cdot \int\limits_0^{\pi / 4} \left(\frac{1}{\cos^{2}{t}}-\frac{3}{2}+\frac{1}{2}\cos{2t}\right) dt =$

$= \left. 16\left(\operatorname{tg}{t} -\frac{3t}{2}+\frac{1}{4}\sin{2t}\right)\right|_0^{\pi / 4} = 16\left(\operatorname{tg}{\frac{\pi}{4}} -\frac{3\pi}{8}+\frac{1}{4}\sin{\frac{\pi}{2}}\right) - 16\left(\operatorname{tg}{0} -\frac{3\cdot 0}{2}+\frac{1}{4}\sin{0}\right) =$

$= 16\left(1 -\frac{3\pi}{8}+\frac{1}{4}\cdot 1\right) - 16\left(2\cdot 0 - 0+\frac{1}{4}\cdot 0\right) = 16\left(\frac{5}{4}-\frac{3\pi}{8}\right) = 20 - 6\pi$