Задача Кузнецов Интегралы 12-2

Условие задачи

Вычислить определенный интеграл:

$\int\limits_0^1 x^2\sqrt{1-x^2} dx$

Решение

$\int\limits_0^1 x^2\sqrt{1-x^2} dx =$

Замена:

$x = \sin{t} \Rightarrow dx = \cos{t}\; dt$

$x=0 \Rightarrow t = \arcsin{0} = 0$

$x=1 \Rightarrow t = \arcsin{1} = \frac{\pi}{2}$

Получаем:

$= \int\limits_0^{\pi / 2} \sin^{2}{t}\cdot \sqrt{1-\sin^{2}{t}}\cdot \cos{t}\; dt = \int\limits_0^{\pi / 2} \sin^{2}{t}\cdot \cos{t}\cdot \cos{t}\; dt =$

$= \frac{1}{4}\cdot \int\limits_0^{\pi / 2} 4\sin^{2}{t}\cdot \cos^{2}{t}\; dt = \frac{1}{4}\cdot \int\limits_0^{\pi / 2} \sin^{2}{2t}dt = \frac{1}{4}\cdot \int\limits_0^{\pi / 2} \frac{1-\cos{4t}}{2} dt =$

$= \frac{1}{8}\cdot \int\limits_0^{\pi / 2} \left(1-\cos{4t}\right) dt = \left. \frac{1}{8}\left(t-\frac{1}{4}\sin{4t}\right)\right|_0^{\pi / 2} =$

$= \frac{1}{8}\left(\frac{\pi}{2}-\frac{1}{4}\sin{2\pi}\right) - \frac{1}{8}\left(0-\frac{1}{4}\sin{0}\right) =\frac{1}{8}\left(\frac{\pi}{2}-\frac{1}{4}\cdot 0\right) - \frac{1}{8}\left(0-\frac{1}{4}\cdot 0\right) = \frac{\pi}{16}$