Задача Кузнецов Интегралы 12-29

Условие задачи

Вычислить определенный интеграл:

$\int\limits_0^{1 / \sqrt{2}} \frac{dx}{\left(1-x^2 \right)\sqrt{1-x^2}}$

Решение

$\int\limits_0^{1 / \sqrt{2}} \frac{dx}{\left(1-x^2 \right)\sqrt{1-x^2}} =$

Замена:

$x = \sin{t};\; dx = \cos{t} dt$

$x=0 \Rightarrow t = \arcsin{0} = 0$

$x=\frac{1}{\sqrt{2}} \Rightarrow t = \arcsin{\frac{1}{\sqrt{2}}} = \frac{\pi}{4}$

Получаем:

$= \int\limits_0^{\pi / 4} \frac{\cos{t}\; dt}{\sqrt{(1 - \sin^{2}{t})^3}} = \int\limits_0^{\pi / 4} \frac{\cos{t}\; dt}{\sqrt{(1 - \sin^{2}{t})^3}} = \int\limits_0^{\pi / 4} \frac{\cos{t}\; dt}{\cos^{3}{t}} = \int\limits_0^{\pi / 4} \frac{dt}{\cos^{2}{t}} =$

$= \left. \operatorname{tg}{t}\right|_0^{\pi / 4} = \operatorname{tg}{\frac{\pi}{4}} - \operatorname{tg}{0} = 1$