Задача Кузнецов Интегралы 12-3

Условие задачи

Вычислить определенный интеграл:

$\int\limits_0^5 \frac{dx}{\left(25+x^2\right)\sqrt{25+x^2}}$

Решение

$\int\limits_0^5 \frac{dx}{\left(25+x^2\right)\sqrt{25+x^2}} = \int\limits_0^5 \frac{dx}{\left(25+x^2\right)^{3/2}} =$

Замена:

$x = 5\operatorname{tg}{t} \Rightarrow dx = \frac{5dt}{\cos^{2}{t}}$

$x=0 \Rightarrow t = \operatorname{arctg}{\frac{0}{5}} = 0$

$x=5 \Rightarrow t = \operatorname{arctg}{\frac{5}{5}} = \frac{\pi}{4}$

Получаем:

$= \int\limits_0^{\pi / 4} \frac{5dt}{\left(25+25\operatorname{tg}^{2}{t}\right)^{3/2}\cdot \cos^{2}{t}} = \int\limits_0^{\pi / 4} \frac{5dt}{5^3\left(1+\operatorname{tg}^{2}{t}\right)^{3/2}\cdot \cos^{2}{t}} =$

$= \int\limits_0^{\pi / 4} \frac{dt}{25\left(\frac{1}{\cos^{2}{t}}\right)^{3/2}\cdot \cos^{2}{t}} = \frac{1}{25}\int\limits_0^{\pi / 4} \frac{dt}{\frac{1}{\cos^{3}{t}}\cdot \cos^{2}{t}} = \frac{1}{25}\int\limits_0^{\pi / 4} \cos{t}\; dt =$

$= \left. \frac{1}{25} \sin{t}\right|_0^{\pi / 4} = \frac{1}{25} \sin{\frac{\pi}{4}} - \frac{1}{25} \sin{0} = \frac{1}{25}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}-0 = \frac{\sqrt{2}}{50}$