Задача Кузнецов Интегралы 12-31

Условие задачи

Вычислить определенный интеграл:

$\int\limits_0^{3 / 2} \frac{x^2\cdot dx}{\sqrt{9-x^2}}$

Решение

$\int\limits_0^{3 / 2} \frac{x^2\cdot dx}{\sqrt{9-x^2}} =$

Замена:

$x = 3\sin{t} \Rightarrow dx = 3\cos{t}\; dt$

$x=0 \Rightarrow t = \arcsin{\frac{0}{3}} = 0$

$x=\frac{3}{2} \Rightarrow t = \arcsin{\frac{\left(\frac{3}{2}\right)}{3}} = \arcsin{\frac{1}{2}} = \frac{\pi}{6}$

Получаем:

$= \int\limits_0^{\pi / 6} \frac{9\sin^{2}{t}\cdot 3\cos{t}\; dt}{\sqrt{9-9\sin^{2}{t}}} = \int\limits_0^{\pi / 6} \frac{9\sin^{2}{t}\cdot 3\cos{t}}{3\sqrt{1-\sin^{2}{t}}}dt = 9\cdot \int\limits_0^{\pi / 6} \frac{\sin^{2}{t}\cdot \cos{t}}{\cos{t}}dt =$

$= 9\cdot \int\limits_0^{\pi / 6} \sin^{2}{t}\; dt = 9\cdot \int\limits_0^{\pi / 6} \frac{1-\cos{2t}}{2} dt = \frac{9}{2}\cdot \int\limits_0^{\pi / 6} \left(1-\cos{2t}\right) dt =$

$= \left. \frac{9}{2}\left(t-\frac{1}{2}\sin{2t}\right)\right|_0^{\pi / 6} = \frac{9}{2}\left(\frac{\pi}{6}-\frac{1}{2}\sin{\frac{\pi}{3}}\right) - \frac{9}{2}\left(0-\frac{1}{2}\sin{0}\right) =$

$= \frac{9}{2}\left(\frac{\pi}{6}-\frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\right) - 0 = \frac{3\pi}{4} - \frac{9\sqrt{3}}{8}$