Задача Кузнецов Интегралы 13-1

Условие задачи

Найти неопределенный интеграл:

$\int \frac{\sqrt{1+\sqrt{x}}}{x\sqrt[4]{x^3}}dx$

Решение

$\int \frac{\sqrt{1+\sqrt{x}}}{x\sqrt[4]{x^3}}dx = \int x^{-\frac{7}{4}}\left(1+x^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}dx =$

Под интегралом дифференциальный бином $x^m\left(a+bx^n\right)^p$, откуда

$m=-\frac{7}{4};\; n=\frac{1}{2};\; p=\frac{1}{2}$

Так, как $\frac{m+1}{n}+p = \frac{-\frac{7}{4}+1}{\frac{1}{2}}+\frac{1}{2} = -\frac{3}{2}+\frac{1}{2}=-1$ - целое, то используем замену:

$ax^{-n}+b = z^s$, где $s$ - знаменатель дроби $p$.

Т.е. в нашем случае замена имеет вид:

$x^{-\frac{1}{2}}+1 = z^2$

$x = \left(z^2-1\right)^{-2}$

$dx = -2\left(z^2-1\right)^{-3}\cdot 2z\; dz = -4z\left(z^2-1\right)^{-3}dz$

Получаем:

$= \int \left(\left(z^2-1\right)^{-2}\right)^{-\frac{7}{4}}\left(1+\left(\left(z^2-1\right)^{-2}\right)^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}} (-4z)\left(z^2-1\right)^{-3}dz =$

$= \int \left(z^2-1\right)^{\frac{7}{2}}\left(1+\left(z^2-1\right)^{-1}\right)^{\frac{1}{2}} (-4z)\left(z^2-1\right)^{-3}dz =$

$= \int \left(z^2-1\right)^{\frac{1}{2}}\left(1+\frac{1}{z^2-1}\right)^{\frac{1}{2}} (-4z)dz = \int \left(z^2-1\right)^{\frac{1}{2}}\left(\frac{z^2}{z^2-1}\right)^{\frac{1}{2}} (-4z)dz =$

$= \int \left(z^2-1\right)^{\frac{1}{2}}\cdot \frac{z}{\left(z^2-1\right)^{\frac{1}{2}}} (-4z)dz = -4\int z^2 dz = -\frac{4z^3}{3} + C =$

$= -\frac{4\left(x^{-\frac{1}{2}}+1\right)^{\frac{3}{2}}}{3} + C = -\frac{4\sqrt{\left(\frac{1}{\sqrt{x}}+1\right)^3}}{3} + C = -\frac{4\sqrt{\left(1+\sqrt{x}\right)^3}}{3\sqrt[4]{x}} + C$