Задача Кузнецов Интегралы 13-19

Условие задачи

Найти неопределенный интеграл:

$\int \frac{\sqrt[5]{\left(1+\sqrt[3]{x^2} \right)^4}}{x^2\cdot \sqrt[5]{x}}dx$

Решение

$\int \frac{\sqrt[5]{\left(1+\sqrt[3]{x^2} \right)^4}}{x^2\cdot \sqrt[5]{x}}dx = \int x^{-\frac{11}{5}}\left(1+x^{\frac{2}{3}}\right)^{\frac{4}{5}} dx =$

Под интегралом дифференциальный бином $x^m\left(a+bx^n\right)^p$, откуда

$m=-\frac{11}{5};\; n=\frac{2}{3};\; p=\frac{4}{5}$

Так, как $\frac{m+1}{n}+p = \frac{-\frac{11}{5}+1}{\frac{2}{3}}+\frac{4}{5} = -\frac{9}{5}+\frac{4}{5}=-1$ - целое, то используем замену:

$ax^{-n}+b = z^s$, где $s$ - знаменатель дроби $p$.

Т.е. в нашем случае замена имеет вид:

$x^{-\frac{2}{3}}+1 = z^5$

$x = \left(z^5-1\right)^{-\frac{3}{2}}$

$dx = -\frac{3}{2}\left(z^5-1\right)^{-\frac{5}{2}}\cdot 5z^4\; dz = -\frac{15}{2}\cdot z^4\left(z^5-1\right)^{-\frac{5}{2}}dz$

Получаем:

$= \int \left(\left(z^5-1\right)^{-\frac{3}{2}}\right)^{-\frac{11}{5}}\cdot \left(1 + \left(\left(z^5-1\right)^{-\frac{3}{2}}\right)^{\frac{2}{3}} \right)^{\frac{4}{5}}\cdot \left(-\frac{15}{2}\right)z^4\left(z^5-1\right)^{-\frac{5}{2}}dz =$

$= -\frac{15}{2}\cdot \int \left(z^5-1\right)^{\frac{33}{10}}\cdot \left(1 + \frac{1}{z^5-1}\right)^{\frac{4}{5}}\cdot z^4\left(z^5-1\right)^{-\frac{5}{2}}dz =$

$= -\frac{15}{2}\cdot \int \left(z^5-1\right)^{\frac{8}{10}}\cdot \left(\frac{z^5}{z^5-1}\right)^{\frac{4}{5}}\cdot z^4\; dz =$

$= -\frac{15}{2}\cdot \int z^8 dz = -\frac{15}{2}\cdot \frac{z^9}{9} + C = -\frac{5z^9}{6} + C = -\frac{5\left(\sqrt[5]{x^{-\frac{2}{3}}+1}\right)^9}{6}+C =$

$= -\frac{5}{6}\left(\sqrt[5]{\frac{1}{\sqrt[3]{x^2}}+1}\right)^9+C = -\frac{5}{6}\left(\sqrt[5]{\frac{1 + \sqrt[3]{x^2}}{\sqrt[3]{x^2}}}\right)^9+C$