Задача Кузнецов Интегралы 13-2

Условие задачи

Найти неопределенный интеграл:

$\int \frac{\sqrt[3]{1+\sqrt{x}}}{x\sqrt[3]{x^2}}dx$

Решение

$\int \frac{\sqrt[3]{1+\sqrt{x}}}{x\sqrt[3]{x^2}}dx = \int x^{-\frac{5}{3}}\left(1+x^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{3}}dx =$

Под интегралом дифференциальный бином $x^m\left(a+bx^n\right)^p$, откуда

$m=-\frac{5}{3};\; n=\frac{1}{2};\; p=\frac{1}{3}$

Так, как $\frac{m+1}{n}+p = \frac{-\frac{5}{3}+1}{\frac{1}{2}}+\frac{1}{3} = -\frac{4}{3}+\frac{1}{3}=-1$ - целое, то используем замену:

$ax^{-n}+b = z^s$, где $s$ - знаменатель дроби $p$.

Т.е. в нашем случае замена имеет вид:

$x^{-\frac{1}{2}}+1 = z^3$

$x = \left(z^3-1\right)^{-2}$

$dx = -2\left(z^3-1\right)^{-3}\cdot 3z^2\; dz = -6z^2\left(z^3-1\right)^{-3}dz$

Получаем:

$= \int \left(\left(z^3-1\right)^{-2}\right)^{-\frac{5}{3}}\cdot \left(1 + \left(\left(z^3-1\right)^{-2}\right)^{\frac{1}{2}} \right)^{\frac{1}{3}}(-6)z^2\left(z^3-1\right)^{-3}dz =$

$= -6\cdot \int \left(z^3-1\right)^{\frac{10}{3}}\cdot \left(1 + \frac{1}{z^3-1}\right)^{\frac{1}{3}}z^2\left(z^3-1\right)^{-3}dz =$

$= -6\cdot \int \left(z^3-1\right)^{\frac{1}{3}}\cdot \left(\frac{z^3}{z^3-1}\right)^{\frac{1}{3}}z^2dz = -6\cdot \int \left(z^3-1\right)^{\frac{1}{3}}\cdot \frac{z}{\left(z^3-1\right)^{\frac{1}{3}}}z^2dz =$

$= -6\cdot \int z^3 dz = -6\cdot \frac{z^4}{4} + C = -\frac{3z^4}{2} + C = -\frac{3\left(\sqrt[3]{x^{-\frac{1}{2}}+1}\right)^4}{2} + C =$

$= -\frac{3\left(\frac{1}{\sqrt{x}}+1\right)^{\frac{4}{3}}}{2} + C = -\frac{3\left(1+\sqrt{x}\right)^{\frac{4}{3}}}{2x^{\frac{2}{3}}} + C = -\frac{3\sqrt[3]{\left(1+\sqrt{x}\right)^4}}{2\sqrt[3]{x^2}} + C$