Задача Кузнецов Интегралы 13-29

Условие задачи

Найти неопределенный интеграл:

$\int \frac{\sqrt[4]{1+\sqrt[3]{x^2}}}{x\sqrt[6]{x^5}}dx$

Решение

$\int \frac{\sqrt[4]{1+\sqrt[3]{x^2}}}{x\sqrt[6]{x^5}}dx = \int x^{-\frac{11}{6}}\left(1+x^{\frac{2}{3}}\right)^{\frac{1}{4}} dx =$

Под интегралом дифференциальный бином $x^m\left(a+bx^n\right)^p$, откуда

$m=-\frac{11}{6};\; n=\frac{2}{3};\; p=\frac{1}{4}$

Так, как $\frac{m+1}{n}+p = \frac{-\frac{11}{6}+1}{\frac{2}{3}}+\frac{1}{4} = -\frac{5}{4}+\frac{1}{4}=-1$ - целое, то используем замену:

$ax^{-n}+b = z^s$, где $s$ - знаменатель дроби $p$.

Т.е. в нашем случае замена имеет вид:

$x^{-\frac{2}{3}}+1 = z^4$

$x = \left(z^4-1\right)^{-\frac{3}{2}}$

$dx = -\frac{3}{2}\left(z^4-1\right)^{-\frac{5}{2}}\cdot 4z^3\; dz = -6z^3\left(z^4-1\right)^{-\frac{5}{2}}dz$

Получаем:

$= \int \left(\left(z^4-1\right)^{-\frac{3}{2}}\right)^{-\frac{11}{6}}\cdot \left(1 + \left(\left(z^4-1\right)^{-\frac{3}{2}}\right)^{\frac{2}{3}} \right)^{\frac{1}{4}}(-6)z^3\left(z^4-1\right)^{-\frac{5}{2}}dz =$

$= -6\int \left(z^4-1\right)^{\frac{11}{4}}\cdot \left(1 + \frac{1}{z^4-1}\right)^{\frac{1}{4}}z^3\left(z^4-1\right)^{-\frac{10}{4}}dz =$

$= -6\int \left(z^4-1\right)^{\frac{1}{4}}\cdot \left(\frac{z^4}{z^4-1}\right)^{\frac{1}{4}}z^3dz = -6\int \left(z^4-1\right)^{\frac{1}{4}}\cdot \frac{z}{\left(z^4-1\right)^{\frac{1}{4}}}z^3dz =$

$= -6\int z^4 dz = -6\cdot \frac{z^5}{5} + C = \frac{-6\left(\sqrt[4]{x^{-\frac{2}{3}}+1}\right)^5}{5} + C =$

$= -\frac{6}{5}\left(\sqrt[4]{\frac{1}{\sqrt[3]{x^2}}+1}\right)^5 + C = -\frac{6}{5}\left(\sqrt[4]{\frac{1+\sqrt[3]{x^2}}{\sqrt[3]{x^2}}}\right)^5 + C = -\frac{6\cdot \sqrt[4]{\left(1 + \sqrt[3]{x^2}\right)^5}}{5\sqrt[6]{x^5}} + C$