Задача Кузнецов Интегралы 13-3

Условие задачи

Найти неопределенный интеграл:

$\int \frac{\sqrt{1+\sqrt[3]{x}}}{x\sqrt{x}}dx$

Решение

$\int \frac{\sqrt{1+\sqrt[3]{x}}}{x\sqrt{x}}dx = \int x^{-\frac{3}{2}}\left(1+x^{\frac{1}{3}}\right)^{\frac{1}{2}}dx =$

Под интегралом дифференциальный бином $x^m\left(a+bx^n\right)^p$, откуда

$m=-\frac{3}{2};\; n=\frac{1}{3};\; p=\frac{1}{2}$

Так, как $\frac{m+1}{n}+p = \frac{-\frac{3}{2}+1}{\frac{1}{3}}+\frac{1}{2} = -\frac{3}{2}+\frac{1}{2}=-1$ - целое, то используем замену:

$ax^{-n}+b = z^s$, где $s$ - знаменатель дроби $p$.

Т.е. в нашем случае замена имеет вид:

$x^{-\frac{1}{3}}+1 = z^2$

$x = \left(z^2-1\right)^{-3}$

$dx = -3\left(z^2-1\right)^{-4}\cdot 2z\; dz = -6z\left(z^2-1\right)^{-4}dz$

Получаем:

$= \int \left(\left(z^2-1\right)^{-3}\right)^{-\frac{3}{2}}\cdot \left(1 + \left(\left(z^2-1\right)^{-3}\right)^{\frac{1}{3}} \right)^{\frac{1}{2}}(-6)z\left(z^2-1\right)^{-4}dz =$

$= -6\int \left(z^2-1\right)^{\frac{9}{2}}\cdot \left(1 + \frac{1}{z^2-1}\right)^{\frac{1}{2}}z\left(z^2-1\right)^{-4}dz =$

$= -6\int \left(z^2-1\right)^{\frac{1}{2}}\cdot \left(\frac{z^2}{z^2-1}\right)^{\frac{1}{2}}z\; dz = -6\int \left(z^2-1\right)^{\frac{1}{2}}\cdot \frac{z}{\left(z^2-1\right)^{\frac{1}{2}}}z\; dz =$

$= -6\int z^2 dz = -6\cdot \frac{z^3}{3} + C = -2z^3 + C = -2\left(\sqrt{x^{-\frac{1}{3}}+1}\right)^3 + C =$

$= -2\sqrt{\left(\frac{1}{\sqrt[3]{x}}+1\right)^3} + C = -2\sqrt{\frac{\left(1+\sqrt[3]{x}\right)^3}{x}} + C$