Задача Кузнецов Интегралы 13-31

Условие задачи

Найти неопределенный интеграл:

$\int \frac{\sqrt[5]{1+\sqrt[3]{x}}}{x\sqrt[5]{x^2}}dx$

Решение

Преобразуем подынтегральное выражение:

$\int \frac{\sqrt[5]{1+\sqrt[3]{x}}}{x\sqrt[5]{x^2}}dx=\int \frac{\left(1+x^{\frac{1}{3}}\right)^{\frac{1}{5}}}{x\cdot x^{\frac{2}{5}}}dx=\int x^{-\frac{7}{5}}\left(1+x^{\frac{1}{3}}\right)^{\frac{1}{5}}dx$.

Данный интеграл представляет собой дифференциальный бином.
Поскольку $\frac{\frac{-7}{5}+1}{\frac{1}{3}}+\frac{1}{5}=-1$ — целое число, то делаем замену переменной:

$x^{\frac{-1}{3}}+1=t^5$.

Тогда:

$\frac{-1}{3}x^{\frac{-4}{3}}dx=5t^4dt$, $dx=-3x^{\frac{4}{3}}5t^4dt$.

Получаем:

$\int x^{-\frac{7}{5}}\left(1+x^{\frac{1}{3}}\right)^{\frac{1}{5}}dx=\int x^{-\frac{7}{5}}\left(x^{\frac{1}{3}}\left(x^{\frac{-1}{3}}+1\right)\right)^{\frac{1}{5}}dx=\int x^{-\frac{7}{5}}x^{\frac{1}{15}}\left(x^{\frac{-1}{3}}+1\right)^{\frac{1}{5}}dx=$

$=\int x^{-\frac{4}{3}}\left(x^{\frac{-1}{3}}+1\right)^{\frac{1}{5}}dx=\int x^{-\frac{4}{3}}\left(t^5\right)^{\frac{1}{5}}\left(-3x^{\frac{4}{3}}5t^4\right)dt=-15\int t^5dt=$

$=\frac{-15}{6}\cdot t^6+C=\frac{-5}{2}\left(x^{\frac{-1}{3}}+1\right)^{\frac{6}{5}}+C=\frac{-5}{2}\sqrt[5]{\left(x^{\frac{-1}{3}}+1\right)^6}+C =$

$= -\frac{5}{2}\sqrt[5]{\frac{1+\sqrt[3]{x}}{x^2}}+C$, где $C$ — произвольная постоянная.