Задача Кузнецов Интегралы 14-1

Условие задачи

Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций:

$y=(x-2)^3,\; y=4x-8$

Решение

На графике видно что площадь между графиками состоит из двух одинаковых частей :

$~S_{(0,4)} = 2 S_{(2,4)}$

Найдем площадь части где $~x \in (2,4)$ как разность двух интегралов :

$~S = \int\limits_2^4 \left( 4x - 8 \right) \; dx - \int\limits_2^4 \left( x - 2 \right)^3 \; dx =$

$= \left( 4 \frac{x^2}{2} - 8x \right) \Biggr|_2^4 - \int\limits_2^4 \left( x^3 - 6x^2 +12x-8 \right) \; dx =$

$= \left(2x^2-8x\right)\Biggr|_2^4 - \left(\frac{x^4}{4}-6\frac{x^3}{3}+12\frac{x^2}{2}-8x\right)\Biggr|_2^4 =$

$= (32-32)-(8-16) - \left( \frac{4^4}{4} - 2 \cdot 4^3 + 6\cdot 4^2 - 8 \cdot 4 \right) + \left( \frac{2^4}{4} - 2 \cdot 2^3 + 6\cdot 2^2 - 8 \cdot 2 \right) =$

$= 0+8-(64-128+96-32)+(4-16+24-16) = 8 - 0 + (-4) = 4$

$~S_{(0,4)} = 2 \cdot S_{(2,4)} = 2 \cdot 4 = 8$