Задача Кузнецов Интегралы 14-19

Условие задачи

Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций:

$y=\frac{x}{1+\sqrt{x}},\; y=0,\; x=1$

Решение

$S = \int\limits_0^1 \frac{x}{1+\sqrt{x}} \; dx = \begin{vmatrix} x = t^2\\ dx = 2t\;dt \\ x=0 ;\; t=0 \\ x=1;\; t=1 \end{vmatrix} =$

$= \int\limits_0^1 \frac{t^2\cdot 2t}{1+t} \; dt =$

$=2\int\limits_0^1 \frac{t^3}{1+t} \; dt =$

$=2\int\limits_0^1 \left( t^2 - t + 1 - \frac{1}{1+t} \right) dt =$

$=2\left( \frac{t^3}{3} - \frac{t^2}{2} + t - \ln{|1+t|} \right) \Biggr|^1_0 =$

$=2\left(\frac{1}{3}-0\right) - 2 \left(\frac{1}{2}-0\right) + 2 (1-0) - 2 ( \ln 2 - \ln 1)=$

$= \frac{2}{3} - \frac{2}{2} + 2 - 2 ( \ln 2 - 0 ) = \frac{5}{3} - 2 \ln 2$