Задача Кузнецов Интегралы 14-29

Условие задачи

Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций:

$y=(x-1)^2,\; y^2=x-1$

Решение

$y=(x-1)^2,\; y^2=x-1$

Функцию $y^2=x-1$ можно представить как две функции $y$ от $x$:

$y=\sqrt{x-1};$

$y=-\sqrt{x-1};$

Судя по графикам функций, нужная фигура ограничена лишь графиками $y=(x-1)^2,\; y=\sqrt{x-1}$ Найдем пределы интегрирования:

$y=(x-1)^2=\left(y^2\right)^2$

$y^4-y=0$

$y(y^3-1)=0$

$y(y-1)(y^2+y+1)=0$

$y=0$ или $y=1$

$y^2+y+1>0$ так как $D=1^2-4\cdot 1\cdot 1 =-3$

Тогда:

$y=0 \Rightarrow x=1$

$y=1 \Rightarrow x=2$

Следовательно пределы интегрирования - $1$ и $2$.

Найдем площадь фигуры как разность площадей подграфиков $y=\sqrt{x-1}$ и $y=(x-1)^2$

$\int\limits_1^2 (\sqrt{x-1})dx - \int\limits_1^2 (x-1)^2 dx =$

$= \int\limits_1^2 (x-1)^{\frac{1}{2}}dx - \int\limits_1^2 (x^2-2x+1) dx =$

$= \Bigl. \frac{2}{3}(x-1)^{\frac{3}{2}}\Bigr|_1^2 - \Bigl. (\frac{x^3}{3}-\frac{2x^2}{2}+x) \Bigr|_1^2 =$

$= \frac{2}{3} - \frac{8}{3} + \frac{8}{2} - 2 + \frac{1}{3} - 1 + 1$

$= \frac{2}{3} - \frac{8}{3} + \frac{8}{2} - 2 + \frac{1}{3} - 1 + 1 = \frac{1}{3}$