Задача Кузнецов Интегралы 14-3

Условие задачи

Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций:

$y=4-x^2,\; y=x^2-2x$

Решение

Находим абсциссы точек пересечения графиков функций:

$4-x^2 = x^2-2x$

$2x^2-2x-4=0$

$x^2-x-2=0$

$D = (-1)^2 - 4\cdot 1\cdot (-2) = 9$

$x_1 = \frac{1-\sqrt{9}}{2\cdot 1} = -1$

$x_2 = \frac{1+\sqrt{9}}{2\cdot 1} = 2$

Вычисляем площадь:

$S = \int\limits_{-1}^{2} \left(\left(4-x^2\right)-\left(x^2-2x\right)\right)dx = \int\limits_{-1}^{2} \left(-2x^2+2x+4\right)dx =$

$= \left. \left(-\frac{2x^3}{3}+x^2+4x\right)\right|_{-1}^{2} = \left(-\frac{2\cdot 2^3}{3}+2^2+4\cdot 2\right) -$

$- \left(-\frac{2\cdot (-1)^3}{3}+(-1)^2+4\cdot (-1) \right) = -\frac{16}{3} + 4 + 8 - \frac{2}{3} -1 + 4 =$

$= -\frac{18}{3} + 15 = -6 + 15 = 9$