Задача Кузнецов Интегралы 14-31

Условие задачи

Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций:

$x=4-(y-1)^2,\; x=y^2-4y+3$

Решение

Находим ординаты точек пересечения графиков функций $x=4-(y-1)^2$, $x=y^2-4y+3$:

$4-(y-1)^2 = y^2-4y+3$

$4-y^2+2y-1 = y^2-4y+3$

$2y^2-6y=0$

$2y(y-3)=0$

$y=0,\; y=3$

Вычисляем площадь:

$S = \int\limits_{0}^{3} \left(\left(4-(y-1)^2\right) - \left(y^2-4y+3\right)\right)dy =$

$= \int\limits_{0}^{3} \left(4-y^2+2y-1 - y^2+4y-3\right)dy =$

$= \int\limits_{0}^{3} \left(-2y^2+6y\right)dy = \left.\frac{-2y^3}{3}+3y^2\right|_0^3 =$

$= \left(\frac{-2\cdot 3^3}{3}+3\cdot 3^2\right) - \left(\frac{-2\cdot 0^3}{3}+3\cdot 0^2\right) =$

$= (-18+27)-(0+0) = 9$