Задача Кузнецов Интегралы 15-19

Условие задачи

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными уравнениями.

$\begin{cases} x=2\sqrt{2}\cdot \cos^{3}{t}, \\ y=\sqrt{2}\cdot \sin^{3}{t}, \end{cases}$

$x=1\; \left(x\ge 1\right)$

Решение

Найдем точки пересечения:

$x=2\sqrt{2}\cos^{3}{t} = 1; \; \Rightarrow$

$\cos^{3}{t} = \frac{1}{2\sqrt{2}}$

$\cos{t} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

$t = \pm \frac{\pi}{4}+2\pi k, \; k \in \mathbb{Z}$

Так как функции $x=2\sqrt{2}\cdot\cos^{3}{t}, \; y=\sqrt{2}\cdot\sin^{3}{t}$ периодичны (с периодом $2\pi$), то берем любой отрезок длиной $2\pi$. Возьмем $[-\pi;\; \pi]$. Тогда:

$t = -\frac{\pi}{4}$ или $t = \frac{\pi}{4}$

$x\ge 1$ на отрезке $\left[-\frac{\pi}{4};\; \frac{\pi}{4}\right].$

Из рисунка видно, что область симметрична относительно оси $~0x,$ и ее площадь можно посчитать по формуле:

$S= 2\cdot S_0; \; x \in \left[ \frac{\pi}{4} ;\; 0 \right].$

$S= 2 \cdot \int\limits^{0}_{\pi/4} y(t) \cdot x'(t) \; dt =$

$= 2 \cdot \int\limits^{0}_{\pi/4} \sqrt{2} \sin^{3}{t} \cdot \left(2\sqrt{2} \cos^{3}{t}\right)' dt =$

$= 8 \cdot \int\limits^{0}_{\pi/4} \sin^{3}{t} \cdot 3 \cos^{2}{t}\cdot (-\sin{t})\; dt =$

$=-24\cdot \int\limits^{0}_{\pi/4} \sin^{4}{t} \cdot \cos^{2}{t}\; dt = \begin{vmatrix} \sin{t}\cos{t}=\frac{1}{2}\sin{2t},\; \\ \sin^{2}{t}=\frac{1}{2}(1-\cos{2t}) ,\; \\ \int\limits_a^b f(x)\; dx = -\int\limits^a_b f(x)\; dx \end{vmatrix} =$

$=24 \cdot \int\limits_{0}^{\pi/4} \frac{1}{2}(1-\cos{2t})\cdot \left(\frac{1}{2}\sin{2t}\right)^2 dt = 3 \cdot \int\limits_{0}^{\pi/4} (1-\cos{2t})\sin^{2}{2t}\; dt =$

$= 3 \cdot \int\limits_{0}^{\pi/4} \sin^{2}{2t}\; dt - 3 \cdot \int\limits_{0}^{\pi/4} \cos{2t}\cdot \sin^{2}{2t}\; dt =$

$= 3 \cdot \int\limits_{0}^{\pi/4} \frac{1}{2}(1-\cos{4t})\; dt - 3 \cdot \int\limits_{0}^{\pi/4} \frac{1}{2}\cdot \sin^{2}{2t}\; d\left(\sin{2t}\right) =$

$= \frac{3}{2} \cdot \left(t-\frac{1}{4} \sin{4t} \right)\Biggr|_{0}^{\pi/4} - \frac{3}{2} \cdot \left(\frac{1}{3}\sin^{3}{2t}\right)\Biggr|_{0}^{\pi/4} =$

$= \frac{3}{2} \cdot \left( \frac{\pi}{4}-\frac{1}{4}\sin{\frac{4\pi}{4}}\right) - \frac{3}{2} \cdot \left(0-\frac{1}{4}\sin{0}\right) - \frac{1}{2} \cdot \left( \sin^{3}{\frac{2\pi}{4}} - \sin^{3}{0} \right) =$

$= \frac{3}{2}\cdot\frac{\pi}{4}-\frac{3}{2}\cdot\frac{1}{4}\cdot \sin\pi - 0 - \frac{1}{2}\cdot\sin^{3}\frac{\pi}{2} + 0 = \frac{3}{8}\cdot\pi - \frac{3}{8}\cdot 0 - \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{3}{8}\cdot\pi - \frac{1}{2}$