Задача Кузнецов Интегралы 15-2

Условие задачи

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными уравнениями.

$\begin{cases} x=\sqrt{2}\cdot \cos{t},\\ y=2\sqrt{2}\cdot \sin{t},\end{cases}$

$y=2\; \left(y\ge 2 \right)$

Решение

1. Пределы интегрирования: $2=\sqrt{2}\sin{t}\Rightarrow\,t_1=\frac{3\pi}{4},t_2=\frac{\pi}{4}$
2. Площадь под кривой: $S_0=\int\limits_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}}2\sqrt2\sin{t}(\sqrt2\cos{t})'dt=-4\int\limits_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}}(\sin{t})^2\, dt=-4\int\limits_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}}\frac{1-\cos{2t}}{2}dt=-\int\limits_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}}(1-\cos{2t})d(2t)=-\pi-2$ т.к. площадь не может быть отрицательной, надо взять ее модуль $\pi+2$
3. Из площади под кривой надо вычесть площадь прямоугольника, ограниченного прямыми $y=2$, $y=0$, $x=-1$, $x=1$.
   Площадь прямоугольника: $S_1=4$.
4. Искомая площадь $S=S_0-S_1=\pi-2$

--kasper 08:32, 23 мая 2010 (UTC)