Задача Кузнецов Интегралы 15-29

Условие задачи

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными уравнениями.

$\begin{cases} x=2\sqrt{2}\cdot \cos{t}, \\ y=5\sqrt{2}\cdot \sin{t}, \end{cases}$

$y=5\; \left(y\ge 5\right)$

Решение 1

Найдем точки пересечения:

$y=5\sqrt{2}\sin{t} = 5$

$\sin{t} = \frac{5}{5\sqrt{2}}= \frac{1}{\sqrt{2}}$

$t = (-1)^{k}\cdot \frac{\pi}{4}+\pi k, \; k \in \mathbb{Z}$

Так как функции $2\sqrt{2}\cos{t},\; 5\sqrt{2}\sin{t}$ периодичны (с периодом $2\pi$), то берем любой отрезок длиной $2\pi.$ Возьмем $[0;\; 2\pi]$. Тогда:

$t = \frac{\pi}{4}$ или $t = \frac{3\pi}{4}$

При $t = \frac{3\pi}{4};\;x =2\sqrt{2}\cos\frac{3\pi}{4}=2\sqrt{2}\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)=-2$

При $t = \frac{ \pi}{4};\;x =2\sqrt{2}\cos\frac{ \pi}{4}=2\sqrt{2}\cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = 2$

$y \ge 5$ на отрезке $\left[\frac{3\pi}{4};\; \frac{\pi}{4}\right]$.

Площадь фигуры найдем по формуле: $S = S_0 - S_1$ Где:

$S_0 = \int\limits_{3\pi/4}^{\pi/4} y(t) \cdot x'(t) \; dt =$

$= \int\limits_{3\pi/4}^{\pi/4} 5\sqrt{2}\sin{t}\cdot \left(2\sqrt{2}\cos{t}\right)' dt =20\cdot \int\limits_{3\pi/4}^{\pi/4} \sin{t} \cdot (-\sin{t})\; dt =$

$=-20\cdot \int\limits_{3\pi/4}^{\pi/4} \sin^{2}{t}\; dt =-20\cdot \int\limits_{3\pi/4}^{\pi/4} \frac{1}{2}(1-\cos{2t})dt =$

$=-10\cdot \left(t - \frac{1}{2}\sin{2t}\right)\Biggr|_{3\pi/4}^{\pi/4} =$

$= -10\cdot \left(\frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}\sin{\frac{2\pi}{4}}\right) +10\cdot \left(\frac{3\pi}{4}- \frac{1}{2}\sin{\frac{2\cdot 3\pi}{4}}\right) =$

$=-\frac{10\pi}{4}+ \frac{10}{2}\sin\frac{\pi}{2} + \frac{30\pi}{4} - \frac{10}{2}\sin\left(\pi+\frac{\pi}{2}\right) = \frac{20\pi}{4}+ 5 \cdot 1 - 5 \cdot \left(-\sin\frac{\pi}{2}\right) = 5\pi + 5 + 5 \cdot 1 = 5\pi + 10$

Теперь из площади под кривой надо вычесть площадь прямоугольника, ограниченного прямыми $y=0; y=5; x=-2; x=2;$

$S_1 = (y_2-y_1)\cdot(x_2-x_1) = (5-0) \cdot (2-(-2)) = 5 \cdot 4 = 20$

И в результате получим: $~S = S_0 - S_1 = 5\pi + 10 - 20 = 5\pi - 10$

Решение 2

Найдем точки пересечения:

$y=5\sqrt{2}\sin{t} = 5$

$\sin{t} = \frac{5}{5\sqrt{2}}= \frac{1}{\sqrt{2}}$

$t = (-1)^{k}\cdot \frac{\pi}{4}+\pi k, \; k \in \mathbb{Z}$

Так как функции $2\sqrt{2}\cos{t},\; 5\sqrt{2}\sin{t}$ периодичны (с периодом $2\pi$), то берем любой отрезок длиной $2\pi.$ Возьмем $[0;\; 2\pi]$. Тогда:

$t = \frac{\pi}{4}$ или $t = \frac{3\pi}{4}$

При $t = \frac{3\pi}{4};\;x =2\sqrt{2}\cos\frac{3\pi}{4}=2\sqrt{2}\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)=-2$

При $t = \frac{ \pi}{4};\;x =2\sqrt{2}\cos\frac{ \pi}{4}=2\sqrt{2}\cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = 2$

$y \ge 5$ на отрезке $\left[\frac{3\pi}{4};\; \frac{\pi}{4}\right]$.

Площадь фигуры найдем по формуле:

$S = \int\limits_{\pi/4}^{3\pi/4} x(t) \cdot y'(t) \; dt = \int\limits_{\pi/4}^{3\pi/4} 2\sqrt{2}\cos{t}\cdot \left(5\sqrt{2}\sin{t}\right)' dt = 20\cdot \int\limits_{\pi/4}^{3\pi/4} \cos{t} \cdot \cos{t}\; dt =$

$= 20\cdot \int\limits_{\pi/4}^{3\pi/4} \cos^{2}{t}\; dt = 20\cdot \int\limits_{\pi/4}^{3\pi/4} \frac{1}{2}(1+\cos{2t})dt = 10\cdot \left(t + \frac{1}{2}\sin{2t}\right)\Biggr|_{\pi/4}^{3\pi/4} =$

$= 10\cdot \left(\frac{3\pi}{4}+ \frac{1}{2}\sin{\frac{2\cdot 3\pi}{4}}\right) -10\cdot \left(\frac{\pi}{4} + \frac{1}{2}\sin{\frac{2 \pi}{4}}\right) =$

$= \frac{30\pi}{4} + \frac{10}{2} \sin \left( \pi+\frac{\pi}{2} \right) - \frac{10\pi}{4} - \frac{10}{2}\sin\frac{\pi}{2} = \frac{20\pi}{4} + 5 \cdot \left(-\sin\frac{\pi}{2}\right) - 5 \cdot 1 = 5\pi - 5 \cdot 1 - 5 = 5\pi - 10$