Задача Кузнецов Интегралы 15-3

Условие задачи

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными уравнениями.

$\begin{cases} x=4\left(t- \sin{t} \right), \\ y=4\left(1-\cos{t} \right),\end{cases}$

$y=4\; \left(0<x<8\pi,\; y\ge 4\right)$

Решение

Найдем точки пересечения:

$y=4(1-\cos{t}) = 4$

$1-\cos{t} = 1$

$\cos{t} = 0$

$t = \frac{\pi}{2}+\pi n, \; n \in \mathbb{Z}$

Нас интересует интервал $0<x<8\pi$. Тогда абсциссы точек пересечения будут:

$t = \frac{\pi}{2} \Rightarrow x=4\left(\frac{\pi}{2}- \sin{\frac{\pi}{2}} \right) = 2\pi - 4$

$t = \frac{3\pi}{2} \Rightarrow x=4\left(\frac{3\pi}{2} - \sin{\frac{3\pi}{2}} \right) = 6\pi + 4$

Вычисляем площадь:

$S = \int\limits_{\pi / 2}^{3\pi / 2} 4(1-\cos{t})\cdot \left(4(t- \sin{t})\right)' dt =$

$= 16\cdot \int\limits_{\pi / 2}^{3\pi / 2} (1-\cos{t})\cdot (1- \cos{t})dt =$

$= 16\cdot \int\limits_{\pi / 2}^{3\pi / 2} (1-2\cos{t}+\cos^{2}{t})dt = 16\cdot \left. \left(t -2\sin{t}\right)\right|_{\pi / 2}^{3\pi / 2} + 16\cdot \int\limits_{\pi / 2}^{3\pi / 2} \frac{1}{2}(1+\cos{2t})dt =$

$= 16\cdot \left(\frac{3\pi}{2} -2\sin{\frac{3\pi}{2}}\right) - 16 \left(\frac{\pi}{2} -2\sin{\frac{\pi}{2}}\right)+ 8\cdot \left. \left(t + \frac{1}{2}\sin{2t}\right)\right|_{\pi / 2}^{3\pi / 2}=$

$= 24\pi + 32 - 8\pi + 32 + 8\cdot \left(\frac{3\pi}{2} + \frac{1}{2}\sin{3\pi}\right) - 8\cdot \left(\frac{\pi}{2} + \frac{1}{2}\sin{\pi}\right)=$

$= 16\pi + 64 + 12\pi + 0 - 4\pi - 0 = 24\pi + 64$